《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

4.(中考·乐山)如图，一次函数y = kx + b的图象与反比例函数y = $\frac{4}{x}$的图象交于点A(m，4)，与x轴交于点B，与y轴交于点C(0,3).
(1)则m的值是________，一次函数的解析式是__________；
(2)已知P为反比例函数y = $\frac{4}{x}$图象上的一点，S△OBP = 2S△OAC，求点P的坐标.

答案：
(1)$1$ $y = x + 3$ 解:
(2)对于$y = x + 3$,当$y = 0$时,$x=-3$,$\therefore OB = 3$.$\because C(0,3)$,$\therefore OC = 3$,过点$A$作$AH\perp y$轴于点$H$,过点$P$作$PD\perp x$轴于点$D$,$\because S_{\triangle OBP}=2S_{\triangle OAC}$,$\therefore\frac{1}{2}OB\cdot PD = 2×\frac{1}{2}OC\cdot AH$,即$\frac{1}{2}×3×PD = 2×\frac{1}{2}×3×1$,解得$PD = 2$,$\therefore$点$P$的纵坐标为$2$或$-2$,将$y = 2$或$-2$代入$y = \frac{4}{x}$得$x = 2$或$-2$,$\therefore$点$P(2,2)$或$(-2,-2)$.

5.(2024·遂宁)如图，一次函数y1 = kx + b(k≠0)的图象与反比例函数y2 = $\frac{m}{x}$(m≠0)的图象相交于A(1，3)，B(n,-1)两点.
(1)反比例函数的解析式是__________，一次函数的解析式是__________；
(2)根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
(3)过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连接AC，求△ABC的面积.

答案：
(1)$y=\frac{3}{x}$ $y = x + 2$ 解:
(2)由图象可知,当$-3\lt x\lt0$或$x\gt1$时,$y_{1}\gt y_{2}$;
(3)过点$A$作$AM// y$轴交$BC$于点$M$.$\because$直线$BC$过原点$O$,点$B,C$在反比例函数的图象上,$B(-3,-1)$.$\therefore C(3,1)$. 设直线$BC$的解析式是$y = k_{1}x$,把$B(-3,-1)$代入,得$-3k_{1}=-1$.$\therefore k_{1}=\frac{1}{3}$.$\therefore y=\frac{1}{3}x$. 当$x = 1$时,$y=\frac{1}{3}$.$\therefore M(1,\frac{1}{3})$.$\therefore AM = y_{A}-y_{M}=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$.$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABM}+S_{\triangle ACM}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot|x_{C}-x_{B}|=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×|3-(-3)| = 8$.