《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

20.(2024·遂宁)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$.
(1)求证：无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2} = 9$，求$m$的值.

答案： 解：
(1)$a = 1,b=-(m + 2),c = m - 1,\Delta=b^{2}-4ac=[-(m + 2)]^{2}-4\times1\times(m - 1)=m^{2}+4m + 4-4m + 4=m^{2}+8$.$\because m^{2}\geqslant0,\therefore\Delta=m^{2}+8＞0$.$\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=m + 2,x_{1}x_{2}=m - 1$.$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$，$\therefore(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9$. 整理，得$m^{2}+m - 2 = 0$.$\therefore(m + 2)(m - 1)=0$. 解得$m_{1}=-2,m_{2}=1$.$\therefore m$的值为$-2$或$1$.

21.【新中考·新运算型阅读理解题】对于实数$a,b$定义运算“$\otimes$”为$a\otimes b = b^{2}-ab$，例如：$3\otimes2 = 2^{2}-3×2 = -2$，则关于$x$的方程$(k - 3)\otimes x = k - 1$的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： A

22.【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读材料：
材料1：关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq 0)$的两个实数根$x_{1},x_{2}$和系数$a,b,c$，有如下关系：$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$.
材料2：已知一元二次方程$x^{2}-x - 1 = 0$的两个实数根分别为$m,n$，求$m^{2}n + mn^{2}$的值.
解：$\because m,n$是一元二次方程$x^{2}-x - 1 = 0$的两个实数根，
$\therefore m + n = 1,mn = -1$.
则$m^{2}n + mn^{2} = mn(m + n) = -1×1 = -1$.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程$2x^{2}+3x - 1 = 0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=$______，$x_{1}x_{2}=$______.
(2)类比：已知一元二次方程$2x^{2}+3x - 1 = 0$的两个实数根为$m,n$，求$m^{2}+n^{2}$的值；
(3)提升：已知实数$s,t$满足$2s^{2}+3s - 1 = 0$，$2t^{2}+3t - 1 = 0$且$s\neq t$，求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值.

答案：
(1)$-\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$ 解：
(2)$\because$一元二次方程$2x^{2}+3x - 1 = 0$的两根分别为$m,n$，$\therefore m + n=-\frac{3}{2},mn=-\frac{1}{2}$，$\therefore m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$；
(3)$\because$实数$s,t$满足$2s^{2}+3s - 1 = 0,2t^{2}+3t - 1 = 0$，且$s\neq t$，$\therefore s,t$是一元二次方程$2x^{2}+3x - 1 = 0$的两个实数根，$\therefore s + t=-\frac{3}{2},st=-\frac{1}{2}$，$\because(t - s)^{2}=(t + s)^{2}-4st=(-\frac{3}{2})^{2}-4\times(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4}$，$\therefore t - s=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$，$\therefore\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t - s}{st}=\frac{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{17}$.