《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

6.【教材P15练习T2变式】一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：t = $\frac{k}{v}$，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40，1)和B(m，0.5).
(1)k = _______，m = _______；
(2)若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间?

答案：
(1)40 80 解：
(2)由
(1)知 $t = \frac{40}{v}$，当 $v = 60$ 时，$t = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ h. 对于函数 $t = \frac{40}{v}$，当 $v＞0$ 时，$t$ 随 $v$ 的增大而减小，
∴当 $v$ 取最大值 60 时，$t$ 有最小值 $\frac{2}{3}$，
∴汽车通过该路段至少需要 $\frac{2}{3}$ h.

7.【一日一优】【新情境·高效学习】
心理学家研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散. 学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分.
(1)求0≤x＜10和20≤x≤45时，y与x之间的函数关系式；
(2)开始上课后第8分钟与第30分钟时相比较，第____分钟时学生的注意力更集中；
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36? 请说明理由.

答案：
解：
(1)设当 $20\leqslant x\leqslant45$ 时，反比例函数的解析式为 $y = \frac{k}{x}$，将 $C(20,45)$ 代入得：$45 = \frac{k}{20}$，解得 $k = 900$. 当 $20\leqslant x\leqslant45$ 时，$y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = \frac{900}{x}$. 设当 $0\leqslant x＜10$ 时，直线 $AB$ 的解析式为 $y = mx + n$，将 $A(0,20)$，$B(10,45)$ 代入得：$\begin{cases}20 = n,\\45 = 10m + n,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m = \frac{5}{2},\\n = 20,\end{cases}$
∴当 $0\leqslant x＜10$ 时，$y$ 与 $x$ 之间的函数关系式是 $y = \frac{5}{2}x + 20$；
(2)8
(3)当 $y\geqslant36$ 时，$\frac{5}{2}x + 20\geqslant36$，解得 $x\geqslant6\frac{2}{5}$，由
(1)得反比例函数的解析式为 $y = \frac{900}{x}$. 当 $y = 36$ 时，$x = 25$，对于函数 $y = \frac{900}{x}$，当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，
∴当 $x$ 取最大值 25 时，$y$ 有最小值 36.
∴$20\leqslant x\leqslant25$ 时，$y\geqslant36$.
∴$25 - 6\frac{2}{5} = 18\frac{3}{5}＞17$.
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 36.