《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

11.(2024·湖北节选)在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H。
　　(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
　　(2)如图2，当P为CD的中点，AB = 2，AD = 3时，求GH的长。
　　　

答案：
(1)证明：
∵矩形ABCD，
∴∠A = ∠D = ∠C = 90°.
∴∠DEP + ∠EPD = 90°.
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH = ∠A = 90°.
∴∠EPD + ∠CPH = 90°.
∴∠DEP = ∠CPH.又
∵∠D = ∠C，
∴△EDP∽△PCH；
(2)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD = AB = 2，AD = BC = 3，∠A = ∠D = ∠C = 90°.
∵P为CD中点，
∴DP = CP = $\frac{1}{2}$×2 = 1.设EP = AE = x，则ED = AD - x = 3 - x.在Rt△EDP中，EP² = ED² + DP²，即x² = (3 - x)² + 1，解得x = $\frac{5}{3}$.
∴EP = AE = x = $\frac{5}{3}$.
∴ED = AD - AE = $\frac{4}{3}$.
∵△EDP∽△PCH，
∴$\frac{ED}{PC}$ = $\frac{EP}{PH}$，即$\frac{\frac{4}{3}}{1}$ = $\frac{\frac{5}{3}}{PH}$.
∴PH = $\frac{5}{4}$.
∵PG = AB = 2，
∴GH = PG - PH = $\frac{3}{4}$.

12.【新课标·综合与实践】如图，昌昌同学和同伴秋游时，发现在某小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、测倾器和平面镜测量小树到山脚的距离(即DE的长度)，昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内刚好可以看到点E，且测得BC = 4.8 m，CD = 28 m，∠CDE = 135°，已知昌昌的眼睛到地面的距离AB = 1.6 m，请根据以上数据，求DE的长度。(结果保留根号)
　　　　

答案： 解：过点E作EF⊥BD，交BD延长线于点F，则∠EDF = 180° - 135° = 45°，设DF = x m = EF，由题意知∠B = ∠EFC = 90°，∠ACB = ∠ECF，
∴△ABC∽△EFC.
∴$\frac{AB}{EF}$ = $\frac{BC}{CF}$，即$\frac{1.6}{x}$ = $\frac{4.8}{28 + x}$.解得x = 14.经检验，x = 14是原方程的解.
∴DF = EF = 14.
∴DE = $\sqrt{14² + 14²}$ = 14$\sqrt{2}$.答：DE的长为14$\sqrt{2}$ m.

13.如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O是它们的位似中心，若OA : OA' = 2 : 3，则CD : C'D'的值为（ ）
　　
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{4}{9}$

答案： B

14.在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为1 : 2，若点A的坐标为(2，3)，则点A'的坐标为______。

答案： (4，6)或(-4，-6)