《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

1. 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD交AC于点E，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，CE = 1，BC = 2，则AE的长为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5　

答案： B

2. 如图，AE是△ABC外接圆⊙O的直径，AD是△ABC的高. 若AB = 3，AC = 4，AD = 2，则⊙O的半径是______.
　　

答案： 3

3. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 5，点O在AB上，OB = 2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（ ）

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{2}{3}$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. 1

答案： B

4.（2024·内江节选）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E.
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求证：CE是⊙O的切线.
　　　　

答案：
(1)证明：
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠EAC = ∠BAC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°.
∵CE⊥AE，
∴∠AEC = 90° = ∠ACB.
∴△ACE∽△ABC；
(2)证明：连接OC，
∵OA = OC，
∴∠OAC = ∠OCA. 由
(1)知：∠EAC = ∠BAC，
∴∠EAC = ∠OCA，
∴OC//AE.
∴∠OCE = 180° - ∠AEC = 90°.
∴OC⊥EC.
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线.

5. 如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E. DF//AB，交CA的延长线于点F，CF = CD.
（1）求∠F的度数；
（2）若DE·DC = 8，求⊙O的半径.
　　　

答案： 解：
(1)连接OD，
∵FD为⊙O的切线，
∴∠ODF = 90°.
∵DF//AB，
∴∠AOD = 180° - ∠ODF = 90°，
∴∠ACD = $\frac{1}{2}$∠AOD = 45°.
∵CF = CD，
∴∠F = ∠CDF = 67.5°；
(2)
∵OA = OD，∠AOD = 90°，
∴∠EAD = 45°.
∵∠ACD = 45°，
∴∠ACD = ∠EAD.
∵∠ADE = ∠CDA，
∴△DAE∽△DCA.
∴$\frac{DE}{DA}=\frac{DA}{DC}$，
∴DA² = DE·DC = 8.
∵DA＞0，
∴DA = 2$\sqrt{2}$.
∵OA² + OD² = 2OA² = DA² = 8，OA＞0，
∴OA = 2，即⊙O的半径为2.