《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

1.(2024·东营)用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x - 2023 = 0$，将它转化为$(x + a)^{2} = b$的形式，则$a^{b}$的值是（ ）
A. -2024
B. 2024
C. -1
D. 1

答案： D

2.解下列方程：
(1)(2024·无锡模拟)$2x^{2}-x - 3 = 0$；
(2)(2024·齐齐哈尔)$x^{2}-5x + 6 = 0$；
(3)(中考·广西)$(2x + 3)^{2} = (3x + 2)^{2}$.

答案：
(1)解：$\because a = 2,b = -1,c = -3,\therefore b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\times2\times(-3)=25＞0,\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{1\pm5}{4},\therefore x_{1}=\frac{1 + 5}{4}=\frac{3}{2},x_{2}=\frac{1 - 5}{4}=-1.$
(2)解：$(x - 2)(x - 3)=0,\therefore x_{1}=2,x_{2}=3.$
(3)解：开方得：$2x + 3 = 3x + 2$或$2x + 3 = -3x - 2$，解得：$x_{1}=1,x_{2}=-1.$

3.(2024·兰州)关于$x$的一元二次方程$9x^{2}-6x + c = 0$有两个相等的实数根，则$c$的值是（ ）
A. -9
B. 4
C. -1
D. 1

答案： D

4.(2024·自贡)一元二次方程$x^{2}+mx - 2 = 0$根的情况为（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

5.(2024·云南)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + c = 0$没有实数根，则实数$c$的取值范围是______.

答案： $c＞1$

6.(2024·乐山)一元二次方程$x^{2}+2x + p = 0$的两根为$x_{1},x_{2}$，且$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} = 3$，则$p$的值是（ ）
A. $-\frac{2}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. -6
D. 6

答案： A

7.(中考·湖北)已知一元二次方程$x^{2}-3x + k = 0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，若$x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2} = 1$，则实数$k =$______.

答案： -5

8.(2024·巴中)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + k = 0$的一个根为 -2，则另一个根为______.

答案： 4

9.(2024·南充)已知$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k ＜ 5$，且$k,x_{1},x_{2}$都是整数，求$k$的值.

答案： 解：
(1)$\because$原方程有两个不相等的实数根，$\therefore\Delta＞0$. 即$\Delta=(-2k)^{2}-4\times1\times(k^{2}-k + 1)=4k^{2}-4k^{2}+4k - 4 = 4k - 4＞0$. 解得$k＞1$.
(2)$\because1＜k＜5,\therefore$整数$k$的值为$2,3,4$，当$k = 2$时，方程为$x^{2}-4x + 3 = 0$，解得$x_{1}=1,x_{2}=3$，当$k = 3$或$4$时，此时方程的解不为整数. 综上所述，$k$的值为$2$.