《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

7. (2024·临夏州)如图，在△ABC中，AB = AC = 5，sin B = $\frac{4}{5}$，则BC的长是( )

A. 3 B. 6 C. 8 D. 9　　　　　　　　　　　　　

答案： B

8. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，tan A = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠ABC的平分线交AC于点D，CD = $\sqrt{3}$，则AB的长是______.
　 　　　

答案： 6

9. 如图，Rt△ABC中，∠C = 90°，点D在AC上，∠DBC = ∠A. 若AC = 4，cos A = $\frac{4}{5}$，则BD的长度是______.

答案： $\frac{15}{4}$

10. (2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB = 10，AD = 6，tan ∠ACB = 1.
(1)求BC的长；
(2)求sin ∠DAE的值.
　　　　

答案： 解：（1）$\because AD\perp BC$，$\therefore\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$.$\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$.$\because\tan\angle ACB = 1=\frac{AD}{CD}$，$\therefore CD = AD = 6$.$\therefore BC = BD + CD = 8 + 6 = 14$；（2）$\because AE$是$BC$边上的中线，$\therefore CE=\frac{1}{2}BC = 7$.$\therefore DE = CE - CD = 7 - 6 = 1$. 在$Rt\triangle AED$中，$AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{6^{2}+1^{2}}=\sqrt{37}$，$\therefore\sin\angle DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$.

11.【一日一优】【教材P85复习题T12变式】
【探究】如图1，在△ABC中，∠A = α(0° ＜ α ＜ 90°)，AB = c，AC = b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积.
　　　　
【应用】(1)△ABC中，∠C = 45°，BC = 2，AC = 4，则△ABC的面积是______.
(2)如图2，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α，若AC = a，BD = b，试用含a，b，α的式子表示▱ABCD的面积.

答案：
$2\sqrt{2}$ 解：【探究】过点$B$作$BD\perp AC$，垂足为$D$.$\because AB = c$，$\angle A=\alpha$，$\therefore BD = c\sin\alpha$，
　
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}bc\sin\alpha$.【应用】（1）$2\sqrt{2}$ （2）过点$C$作$CE\perp DO$于点$E$.$\therefore\sin\alpha=\frac{EC}{CO}$.$\because$在$\square ABCD$中，$AC = a$，$BD = b$，$\therefore CO=\frac{1}{2}a$，$\therefore CE=\frac{1}{2}a\sin\alpha$，$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}CE\cdot BD=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}a\sin\alpha\cdot b=\frac{1}{4}ab\sin\alpha$，$S_{\square ABCD}=2S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$.