《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

1.(2024·凉山州模拟)如图，在⊙O中，OA⊥BC于E，点D在优弧$\overset{\frown}{BC}$上一点.若BC = 2$\sqrt{3}$，OE = 1，则tan∠ADB的值是 ( )

A.$\sqrt{3}$ B.1 C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$　　

答案： D

2.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为 ( )

A.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$ B.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$ C.$\frac{2}{3}$ D.$\frac{3}{2}$　

答案： A

3.如图，AB为⊙O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果CD = 6，AB = 10，那么tan∠BPD的值为 ( )

A.$\frac{3}{5}$ B.$\frac{4}{5}$ C.$\frac{3}{4}$ D.$\frac{4}{3}$　

答案： D

4.Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 15，cos A = $\frac{4}{5}$，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当⊙B与AC相切时，r = ______.

答案： 9　

5.如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB = $\frac{4}{5}$，BD = 5，则⊙O的半径是______.
　　

答案： $\frac{25}{6}$

6.(2024·甘肃)如图，AB是⊙O的直径，AB交弦CD于F，$\overset{\frown}{BC}$ = $\overset{\frown}{BD}$，点E在AD的延长线上，且∠ADC = ∠AEB.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)当⊙O的半径为2，BC = 3时，求tan∠AEB的值.
　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明:连接$BD,OC,OD$,$\because\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,$\therefore BC = BD$.$\because OC = OD$,$\therefore$点$O,B$在$CD$的垂直平分线上.$\therefore OB$垂直平分$CD$.$\therefore\angle AFD = 90^{\circ}$.$\because\angle ADC=\angle AEB$,$\therefore CD// BE$.$\therefore\angle ABE=\angle AFD = 90^{\circ}$.$\therefore AB\perp BE$.$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore BE$是$\odot O$的切线;
(2)解:$\because\odot O$的半径为$2$,$\therefore AB = 2\times2 = 4$.$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}$.$\because BC = 3$,$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$.$\therefore\tan\angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{3}$,$\because\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$,$\therefore\angle ADC=\angle ABC$.$\because\angle AEB=\angle ADC$,$\therefore\angle AEB=\angle ABC$.$\therefore\tan\angle AEB=\tan\angle ABC=\frac{\sqrt{7}}{3}$.