《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

1. (2024·东莞模拟)如图，在□ABCD中，E是AD上一点，∠EAB = ∠EBC.
求证：BE² = AB·EC.

答案： 证明：
∵□ABCD，
∴AB//CD.
∴∠EBA = ∠BEC. 又
∵∠EAB = ∠EBC，
∴△ABE∽△BEC.
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BE}{EC}$.
∴$BE^{2}=AB\cdot EC$.

2. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB = AC，点E，F分别在AB，BC上，且∠EFB = ∠D.
(1)求证：EF·AC = CD·BE；
(2)若AB = 20，AD = 5，BF = 4，求EB的长.

答案：
(1)证明：
∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB.
∵AD//BC，
∴∠DAC = ∠ACB，
∴∠DAC = ∠B. 又
∵∠EFB = ∠D，
∴△EBF∽△CAD，
∴$\frac{FE}{CD}=\frac{EB}{CA}$，即 EF·AC = CD·BE；
(2)解：
∵AB = AC，AB = 20，
∴AC = 20，由
(1)知△EBF∽△CAD，
∴$\frac{EB}{AC}=\frac{BF}{AD}$，即$\frac{EB}{20}=\frac{4}{5}$，解得 EB = 16.

3. (2024·上海改编)如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.
求证：AD² = DE·DC.

答案： 证明：
∵矩形 ABCD，
∴∠BAD = ∠ADE = 90°，AB = DC.
∴∠ABD + ∠ADB = 90°.
∵AE⊥BD，
∴∠DAE + ∠ADB = 90°.
∴∠ABD = ∠DAE.
∵∠BAD = ∠ADE = 90°，
∴△ADE∽△BAD.
∴$\frac{AD}{BA}=\frac{DE}{AD}$.
∴$AD^{2}=DE\cdot BA$.
∵AB = DC，
∴$AD^{2}=DE\cdot DC$.

4. 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，PE⊥EC.
求证：AE·AB = DE·AP.

答案： 证明：
∵矩形 ABCD，
∴AB = CD，∠ADC = 90°.
∵AE⊥BD，PE⊥CE，
∴∠AED = 90° = ∠AEP + ∠PED，∠PEC = 90° = ∠PED + ∠DEC.
∴∠AEP = ∠DEC. 又
∵∠EAP + ∠ADE = 90°，∠ADE + ∠EDC = 90°，
∴∠EAP = ∠EDC.
∴△AEP∽△DEC.
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AP}{DC}$. 又 AB = CD，
∴AE·AB = DE·AP.