《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

5.如图，□ABCD的对角线交于原点O，点A，C在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上.若CD⊥x轴于D，□ABCD的面积是8，则k的值是______。

答案： -4

6.(2024·兰州)如图，反比例函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$与一次函数y = mx + 1的图象交于点A(2,3)，点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB.
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当OC = 4时，求△ABD的面积。

答案： 解：
(1)把$A(2,3)$代入$y = \frac{k}{x}$与$y = mx + 1$中，得$k = 2×3 = 6$，$2m + 1 = 3$.$\therefore k = 6$，$m = 1$.$\therefore$反比例函数是$y = \frac{6}{x}$，一次函数是$y = x + 1$；
(2)将$x = 4$代入$y = x + 1$中，得$y = 5$，$\therefore D(4,5)$.将$x = 4$代入$y = \frac{6}{x}$中，得$y = \frac{3}{2}$.$\therefore B(4,\frac{3}{2})$.$\therefore S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×(5 - \frac{3}{2})×(4 - 2)=\frac{7}{2}$.

7.(2024·常州改编)如图，直线y = kx + b(k,b为常数)与双曲线$y = \frac{m}{x}$(m为常数)相交于A(2,a)，B(-1,2)两点.
（1）m = ______，a = ______，k = ______，b = ______；
（2）连接AO，BO，求△ABO的面积。

答案： 解：
(2)设直线$y = -x + 1$交$y$轴于点$C$，则$C(0,1)$.$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×1×1 = 1.5$.

【例】 如图，正比例函数y = kx与反比例函数$y = \frac{4}{x}$的图象相交于点A，C，过点A作AB⊥x轴于B，连接BC，则△ABC的面积是______。
【思路点拨】正比例函数与反比例函数的图象若有交点，则这两个交点关于原点对称，故AO = ______，由等底等高的三角形面积相等可知$S_{\triangle AOB}$______$S_{\triangle BOC}=$______，故$S_{\triangle ABC}=$______。

答案： 【例】4 【思路点拨】$CO = 2$ 4

【针对练习】
(2024·河北模拟)如图，直线y = kx与反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象交于点A(4,1)和B，则不等式$kx≥\frac{m}{x}$的解集是（ ）

A.x≥4
B.0＜x≤4
C.x≥4或x≤ - 4
D.x≥4或 - 4≤x＜0

答案： D