《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

综合与实践(四)　　探究纸伞中的数学问题

答案： 任务一:证明:
∵AB=AC,AE=$\frac{1}{3}$AB,AF=$\frac{1}{3}$AC,
∴AE=AF.又
∵AD=AD,DE=DF,
∴△ADE≌△ADF.∠BAD=∠CAD.
∴AP是∠BAC的角平分线;
任务二:解:
∵AD'=50cm,AE=20cm,
∴DE=D'E=30cm.
∵∠BAC=120°,
∴∠EAD=60°.过点E作EG⊥AD于点G,连接ED.在Rt△AEG中,AG = AE·cos∠EAG = 20·cos60° = 10(cm).EG = AE·sin∠EAG = 20·sin60° = 10$\sqrt{3}$(cm).在Rt△DEG中，由勾股定理，得DG = $\sqrt{DE^{2}-EG^{2}}$ = $\sqrt{600}$≈24.5(cm).
∴AD = AG + DG = 34.5(cm).
∴DD' = AD' - AD = 50 - 34.5 = 15.5(cm).答:当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D移动的距离为15.5 cm;
任务三:60cm.