《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

5. 如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE//BC，EF//CD交AB于点F.
求证：DE·CD = BC·EF.

答案： 证明：
∵DE//BC.
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$. 又
∵EF//CD，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{CD}$.
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{CD}$.
∴DE·CD = BC·EF.

6. 如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.
求证：AB·AF = AC·DF.

答案： 证明：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°.
∵E 是 AC 的中点，
∴DE = AE = CE.
∴∠EDC = ∠C.
∵∠BAC = 90° = ∠BAD + ∠DAC，∠ADC = 90° = ∠DAC + ∠C，
∴∠BAD = ∠C.
∵∠BDF = ∠EDC，∠EDC = ∠C，
∴∠BAD = ∠BDF. 又
∵∠F = ∠F，
∴△BDF∽△DAF.
∴$\frac{BD}{DA}=\frac{DF}{AF}$. 又
∵∠ADB = ∠ADC，∠BAD = ∠C，
∴△ABD∽△CAD.
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{AB}{AC}$.
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$.
∴AB·AF = AC·DF.

7. 如图，AD是△ABC的高，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：AE·AB = AF·AC.

答案： 证明：
∵AD 是△ABC 的高，DE⊥AB，
∴∠AED = ∠ADB = ∠ADC = 90°.
∵∠BAD = ∠EAD，
∴△AED∽△ADB.
∴$\frac{EA}{AD}=\frac{AD}{AB}$.
∴$AD^{2}=AE\cdot AB$. 同理可证明$AD^{2}=AF\cdot AC$，
∴AE·AB = AF·AC.