《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

【例】 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE = 2EC.若四边形ODBE的面积为6，求k的值.
方法：坐标法(通法)
第一步：设点：设点C的坐标为(a,0).
第二步：标其他点：由题意知点E与点C的横坐标相同，且点E在反比例函数图象上，
∴点E的坐标为________.
∵BE = 2EC，∴点B的坐标为________.
又∵点D与点B的纵坐标相同，且点D在反比例函数图象上，
∴点D的坐标为________.
第三步：列方程：∵S四边形ODBE = S四边形ODBC - S△OCE = 6，∴代入各点坐标后，解得k = ________.

答案： $(a,\frac{k}{a})$ $(a,\frac{3k}{a})$ $(\frac{a}{3},\frac{3k}{a})$ $3$

1.(中考·绥化)如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC = 2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象经过点B，D，则k的值是( )

A.1
B.2
C.3
D.$\frac{3}{2}$

答案： C

2.(2024·新疆模拟)如图，矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴上，点C，F均在x轴上，点D在BC边上，且BC = 2CD，AB = 3.若E，B两点在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的解析式是________.

答案： $y=\frac{18}{x}$

【针对练习】
如图，点A(2,3)，C(a,2)，B(-4,b)在反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象上，连接AB，AC，BC.
(1)求直线BC和反比例函数的解析式；
(2)求△ABC的面积.

答案： 解:
(1)把$A(2,3)$代入$y = \frac{k}{x}$中,得$k = 2×3 = 6$,$\therefore$反比例函数的解析式是$y=\frac{6}{x}$;把$C(a,2),B(-4,b)$代入$y=\frac{6}{x}$中,得$a = 3,b=-1.5$,$\therefore C(3,2),B(-4,-1.5)$,设直线$BC$为$y = mx + n$,则$\begin{cases}3m + n = 2\\-4m + n = - 1.5\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=\frac{1}{2}\end{cases}$,$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$;
(2)过点$A$作$AD// y$轴交$BC$于点$D$,当$x = 2$时,$y=\frac{1}{2}×2+\frac{1}{2}=1.5$.$\therefore D(2,1.5)$,$\therefore AD = 3 - 1.5 = 1.5$,$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD|x_{C}-x_{B}|=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×|3-(-4)|=\frac{21}{4}$.