《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

1. 在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，∠A的对边与斜边的比都是一个________.

答案： 固定值

2. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的对边与________的比叫做∠A的正弦，记作________，即sinA = ________ = ________.

答案： 斜边 sinA $\frac{\angle A的对边}{斜边}$ $\frac{a}{c}$

1. (1)(2024·云南改编)如图,在△ABC中,∠C = 90°,AB = 13,BC = 5,则sinA等于　　(　　)
A. $\frac{13}{5}$　　　B. $\frac{5}{12}$　　　C. $\frac{5}{13}$　　　D. $\frac{12}{13}$
　
(2)【T1(1)变式】如图,在Rt△ABC中，∠C = 90°,AC = 5,BC = 12,则sinB的值是　(　　)
A. $\frac{5}{13}$　　　B. $\frac{12}{13}$　　　C. $\frac{12}{5}$　　　D. $\frac{5}{12}$
　

答案：
(1)C
(2)A

2. 如图,在平面直角坐标系中,点A(12,9),那么sinα的值是　　　　　　　　　　　　(　　)
A. $\frac{5}{3}$　　　　　　　　　B. $\frac{5}{4}$
C. $\frac{3}{5}$　　　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$
　　

答案： C

3. 在Rt△ABC中,∠C = 90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.若2b = $\sqrt{2}$c,则∠B的正弦值等于________.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4.【教材P63例1变式】如图,在△ABC中,∠C = 90°,AC : BC = 3 : 2,求sinA和sinB的值.
解:设AC = 3a,则BC = 2a,在Rt△ABC中,AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{(3a)^{2}+(2a)^{2}}$ = ________,
∴sinA = $\frac{BC}{( )}$ = $\frac{2a}{( )}$ = ________,
sinB = $\frac{AC}{( )}$ = $\frac{3a}{( )}$ = ________.
　　　

答案： $\sqrt{13}a$ AB $\sqrt{13}a$ $\frac{2}{13}\sqrt{13}$ AB $\sqrt{13}a$ $\frac{3}{13}\sqrt{13}$

5. 直角三角形的两边长为3和4,则较小锐角的正弦值是________.
【点拨】当直角三角形的边不确定时，应分类讨论，即①3和4是直角边长；②4是斜边长，3是直角边长，再根据正弦的定义解答.

答案： $\frac{3}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$

6. 在Rt△ABC中,∠B = 90°,sinA = $\frac{3}{5}$,AC = 100,则BC等于　　　　　　　　　　　(　　)
A. $\frac{500}{3}$　
　B. $\frac{503}{5}$　　
　C. 60　　
　D. 80

答案： C

7. 如图,在△ABC中,∠C = 90°,sinA = $\frac{12}{13}$,BC = 12,求AC和AB的长.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{AB}=\frac{12}{13}$，解得$AB = 13$. $\therefore AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}} = 5$.