《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

8. 如图，在矩形ABCD中，AB = 10，AD = 4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP = ____________.

答案： 2或8或5

9. 如图，在△ABC中，∠A = 78°，AB = 4，AC = 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）

答案： D

10.【教材P35例2变式】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E. 若OE = 3，OB = 5，则CD的长为________.

答案： 9.6

11. 如图，∠ABD = ∠BCD = 90°，DB平分∠ADC，M是AD的中点，连接CM交BD于点N.
(1)求证：BD² = AD·CD；
(2)若CD = 6，AD = 8，求BN的长.

答案：

(1)证明:
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB = ∠BDC. 又
∵∠ABD = ∠BCD，
∴△ADB∽△BDC.
∴$\frac{DB}{DC}=\frac{AD}{DB}$.
∴$BD^{2}=AD\cdot CD$；
(2)由
(1)知$BD^{2}=AD\cdot CD = 6×8 = 48$.
∴$DB = 4\sqrt{3}$.
∵M是AD的中点，∠ABD = 90°，
∴BM = DM = 4.
∴∠BDM = ∠DBM = ∠BDC. 又
∵∠BNM = ∠CND，
∴△BMN∽△DCN.
∴$\frac{BN}{DN}=\frac{BM}{DC}=\frac{4}{6}$.
∴$BN=\frac{2}{5}BD=\frac{8}{5}\sqrt{3}$.

12.【一日一优】【新中考·新定义型阅读理解题】定义：三角形三条中线相交于一点，这个点叫三角形的重心. 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线长是对应中线长的$\frac{1}{3}$.
(1)下面是小明证明性质的过程：
如图，△ABC中，D，E分别是边BC和AC的中点，AD与BE相交于点G.
求证：$\frac{GE}{BE}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$.

证明：连接AD.
∵D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE//AB，$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$（依据1）.
∴∠GED = ∠ABG，∠BAG = ∠GDE.
∴△EDG∽△BAG.
∴$\frac{GE}{BG}=\frac{DG}{AG}=\frac{ED}{AB}=\frac{1}{2}$（依据2）.
∴$\frac{GE}{BE}=\frac{DG}{AD}=\frac{1}{3}$.
在小明的证明过程中，依据1和2的内容分别是：依据1：____________________；依据2：____________________.
(2)应用
①如图，△ABC中，点G是△ABC的重心，连接AG并延长交BC于E. 若GE = 3.5，则AG = ______.

②如图，△ABC中，中线AD与BE交于点O，若△ABC的面积是30，则△BOD的面积是______.

答案：
(1)三角形中位线的性质 相似三角形的性质
(2)①7 ②5