《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

1. 三边成________的两个三角形相似.

答案： 比例

2. 两边成________且________相等的两个三角形相似.

答案： 比例 夹角

1.【教材P33例1变式】甲三角形的三边长分别为1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，乙三角形的三边长分别为5，$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，则甲、乙两个三角形（ ）
A. 一定相似
B. 一定不相似
C. 不一定相似
D. 无法判断是否相似

答案： A

2. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，$\angle BAD = 22^{\circ}$，则$\angle CAE$的度数为______.

答案： 22°

3.（教材P34练习T1(2)改编） 一材多题
$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的三边如下：
$AB = 4\ cm$，$BC = 6\ cm$，$AC = 8\ cm$，
$A'B' = 12\ cm$，$B'C' = 18\ cm$，$A'C' = 21\ cm$.
(1)判断$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是否相似，并说明理由；
(2)若(1)中两三角形不相似，要使它们相似，不改变$AC$的长，$A'C'$的长应当改为多少？

答案： 解：
(1)
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{21}$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\neq\frac{AC}{A'C'}$，△ABC与△A'B'C'的三组对应边的比不相等，
∴它们不相似.
(2)当A'C' = 24 cm时，两个三角形相似.

4.【判定辨析】$\triangle ABC$如图所示，则下列4个三角形中，与$\triangle ABC$相似的是（ ）

答案： C

5.（2024·泸州模拟）如图，在$\triangle ABC$与$\triangle ADE$中，$\angle BAD = \angle CAE$，要使$\triangle ABC\sim\triangle AED$，还需满足下列条件中的（ ）

A. $\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}$
B. $\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$
C. $\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$
D. $\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AE}$

答案： A

6. 如图，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若$OA:OC = OB:OD$，则这四个三角形一定相似的是______和______，理由是____.

答案： ① ③ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

7. 如图，$BD$平分$\angle ABC$，$AB = 4$，$BC = 6$，当$BD =$________时，$\triangle ABD\sim\triangle DBC$.

答案： $2\sqrt{6}$

8.【教材P44习题T14图改编】如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$AC = 4$，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，且$AD = 2$，$CE = 1$.
求证：$\triangle ADE\sim\triangle ACB$.

答案： 证明：
∵AC = 4，CE = 1，
∴AE = 4 - 1 = 3.
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$. 又
∵∠A = ∠A，
∴△ADE∽△ACB.