《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

5. (中考·眉山节选)在平面直角坐标系中，已知抛物线y = ax² + bx + c与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图，当$\frac{PD}{DB}$的值最大时，求点P的坐标及$\frac{PD}{DB}$的最大值.
　　　　　

答案： 解：
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A(-3,0)$，$B(1,0)$两点，与$y$轴交于点$C(0,3)$，$\therefore\begin{cases}9a - 3b + c = 0,\\a + b + c = 0,\\c = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -1,\\b = -2,\\c = 3.\end{cases}$$\therefore$抛物线的解析式为$y = -x^{2}-2x + 3$.
(2)设直线$AC$的解析式为$y = kx + n$，则$\begin{cases}-3k + n = 0,\\n = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 1,\\n = 3.\end{cases}$$\therefore$直线$AC$的解析式为$y = x + 3$. 过点$P$作$PE// x$轴交直线$AC$于点$E$，设$P(t,-t^{2}-2t + 3)$，则$E(-t^{2}-2t,-t^{2}-2t + 3)$，$\therefore PE = -t^{2}-2t - t = -t^{2}-3t$.$\because A(-3,0)$，$B(1,0)$，$\therefore AB = 1 - (-3)=4$.$\because PE// x$轴，$\therefore \triangle EPD\sim\triangle ABD$.$\therefore \frac{PD}{DB}=\frac{PE}{AB}$.$\therefore \frac{PD}{DB}=\frac{-t^{2}-3t}{4}=-\frac{1}{4}(t+\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{16}$.$\because -\frac{1}{4}＜0$，当$t = -\frac{3}{2}$时，$\frac{PD}{DB}$的值最大，最大值为$\frac{9}{16}$，此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.

6. (2024·内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = -2x + 6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y = -x² + bx + c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E.
(1)这条抛物线所对应的函数解析式是____；
(2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.
　　　　　　

答案：

(1)$y = -x^{2}+x + 6$ 解：
(2)存在点$D$，使得$\triangle BDE$和$\triangle ACE$相似，设点$D(t,-t^{2}+t + 6)$，则$E(t,-2t + 6)$，$C(t,0)$，$\therefore EC = -2t + 6$，$AC = 3 - t$，$DE = -t^{2}+3t$，$\because \triangle BDE$和$\triangle ACE$相似，$\angle BED = \angle AEC$，$\therefore \triangle ACE\sim\triangle BDE$或$\triangle ACE\sim\triangle DBE$，①当$\triangle ACE\sim\triangle BDE$时，$\angle BDE = \angle ACE = 90^{\circ}$，$\therefore BD\perp AC$，$\therefore D$点纵坐标为$6$.$\therefore -t^{2}+t + 6 = 6$，解得$t = 0$或$t = 1$.$\therefore D(1,6)$；②当$\triangle ACE\sim\triangle DBE$时，$\angle BDE = \angle CAE$. 过$B$作$BH\perp DC$于$H$，则$\angle BHD = 90^{\circ}$，$H(t,6)$，$BH = t$，$DH = -t^{2}+t$，$\because \angle BDE = \angle CAE$，$\angle BHD = \angle AOB$，$\therefore \triangle BDH\sim\triangle BAO$.$\therefore \frac{BH}{BO}=\frac{DH}{OA}$，即$\frac{t}{6}=\frac{-t^{2}+t}{3}$. 解得$t_{1}=0$(舍去)，$t_{2}=\frac{1}{2}$.$\therefore D(\frac{1}{2},\frac{25}{4})$. 综上所述，点$D$的坐标是$(1,6)$或$(\frac{1}{2},\frac{25}{4})$.