《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

1.(2024·江西节选)如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点(点D与点A不重合)，连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE = 90°，连接BE，$\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}=m$.
【特例感知】
(1)如图1，当m = 1时，探究BE与AD之间的位置关系与数量关系，并说明理由.
【类比迁移】
(2)如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.
　　　　

答案： 解：
(1)$AD\perp BE$，$AD = BE$，理由：$\because\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}=1$，$\therefore CE = CD$，$CB = CA$.$\because\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle A=\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle ACD=\angle BCE$.$\therefore\triangle ACD\cong\triangle BCE(SAS)$.$\therefore AD = BE$，$\angle A=\angle CBE = 45^{\circ}$.$\therefore\angle ABE = 90^{\circ}$，$\therefore AD\perp BE$. 即$AD\perp BE$，$AD = BE$；
(2)$BE = mAD$，$AD\perp BE$，证明如下：$\because\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ACD=\angle BCE$.$\because\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}=m$，$\therefore\triangle ADC\sim\triangle BEC$.$\therefore\frac{BE}{AD}=\frac{BC}{AC}=m$，$\angle CBE=\angle A$.$\therefore BE = mAD$.$\because\angle A+\angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle CBE+\angle ABC = 90^{\circ}$.$\therefore\angle ABE = 90^{\circ}$，即$AD\perp BE$.

2.(1)【特殊发现】
如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE，BG分别在BC，BA边上，连接DF，则有：①$\frac{DF}{AG}=$______；②直线DF与直线AG所夹的锐角等于______度；
(2)【理解运用】
将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF，AG.
①如图2，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D，F，G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE = 4，直接写出AB的长为________；
　　　　　
(3)【拓展延伸】
如图4，点P是正方形ABCD的AB边上一动点(不与A，B重合)，连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC的位置，连接DE并延长与CP的延长线交于点F，连接AF，若PA = 3PB，则$\frac{DE}{EF}$的值是________.
　　　　　

答案：
(1)$\sqrt{2}$ 45 解：
(2)①
(1)中的结论仍成立，理由如下：连接$BD$，$BF$，延长$DF$交$AG$于$H$，交$AB$于$M$.$\because$正方形$ABCD$和正方形$BEFG$，$\therefore\angle ABC=\angle BAD=\angle EBG=\angle BGF = 90^{\circ}$，$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle GBF=\frac{1}{2}\angle GBE = 45^{\circ}$.$\therefore\angle ABD=\angle GBF$.$\therefore\angle GBA=\angle DBF$. 又$\because\frac{AB}{BD}=\frac{BG}{BF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore\triangle ABG\sim\triangle DBF$.$\therefore\frac{AG}{DF}=\frac{AB}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\angle GAB=\angle BDF$.$\therefore\frac{DF}{AG}=\sqrt{2}$. 又$\because\angle AMH=\angle BMD$，$\therefore\angle AHD=\angle ABD = 45^{\circ}$. ②$4\sqrt{5}$
(3)3