《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

8.【教材P65练习T2变式】在△ABC中,∠C = 90°,若把各边长度都扩大为原来的3倍,则∠B的正弦值　　　　　　　　　　　　(　　)
A. 扩大为原来的3倍
B. 缩小到原来的$\frac{1}{3}$
C. 扩大为原来的9倍
D. 不变

答案： D

9. (1)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值为　(　　)
A. $\frac{4}{3}$　　　B. $\frac{3}{4}$　　　C. $\frac{3}{5}$　　　D. $\frac{4}{5}$
　　　
(2)【T9(1)变式】如图，点A,B,O在正方形网格的格点上,则sin∠AOB = ________.
　　　　　

答案：
(1)D
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$

10. 如图,过直径AB延长线上一点C作⊙O的切线,切点是D,若CD = 4,BC = 2,则sinC = ________.
　　

答案： $\frac{3}{5}$

11. (2024·临夏州改编)如图,△ABC中,AB = AC = 5,BC = 8,则sin $\frac{A}{2}$的值是________.
　　　

答案： $\frac{4}{5}$

12. 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,AD = BC = 5,sin∠CAD = $\frac{3}{5}$,求sinB的值.
　

答案： 解：在$Rt\triangle ACD$中，$\sin\angle CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{5}=\frac{CD}{5}$，$\therefore CD = 3$. $\therefore AC=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$. 在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}$，$\therefore\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{\sqrt{41}}=\frac{4}{41}\sqrt{41}$

13.【一日一优】【教材P85复习题T14变式】如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.
(1)求证：$\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{\sin B}$ = $\frac{c}{\sin C}$ = 2R；
(2)若sinA = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，BC = 4$\sqrt{3}$，利用(1)的结论求⊙O的半径.
　　　　　

答案：
(1)证明：作直径$BD$，连接$CD$. $\because\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore\angle A=\angle D$. $\because BD$是直径，$\therefore\angle BCD = 90^{\circ}$. 在$Rt\triangle BCD$中，$\sin D=\frac{BC}{BD}$，$\therefore BD=\frac{BC}{\sin D}=\frac{a}{\sin A}=2R$. 同理可证$\frac{b}{\sin B}=2R$，$\frac{c}{\sin C}=2R$. $\therefore\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$；
(2)解：由
(1)知$\frac{a}{\sin A}=2R$，$\therefore\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$，解得$R = 4$.