《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

4.(2024·雅安)在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计) ( )

A.25$\sqrt{3}$ m B.25 m C.25$\sqrt{2}$ m D.50 m

答案： A

5.如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26 m到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.
求：(1)坡顶A到地面PO的距离；
(2)网络信号塔BC的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据：sin 76°≈0.97，cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.01)

答案： 解:
(1)过点A作AH⊥PO于点H,由题意，得AP = 26 m.
∵斜坡AP的坡度为1:2.4,
∴$\frac{AH}{PH}=\frac{1}{2.4}=\frac{5}{12}$.设AH = 5a,则PH = 12a,AP = 13a = 26 m.
∴a = 2 m,
∴AH = 5a = 10 m.答:坡顶A到地面PO的距离为10 m.
(2)延长BC交PO于点D,由题意得,CD = AH = 10 m,AC = DH,∠BPD = 45°,∠BAC = 76°,设BC = x m,则BD = (x + 10)m,在Rt△BPD中,∠BPD = 45°,
∴BD = PD = (x + 10)m,
∵PH = 24 m,
∴DH = AC = (x + 10) - 24 = (x - 14)m.在Rt△ABC中,tan76°=$\frac{BC}{AC}=\frac{x}{x - 14}$≈4.01,解得x≈18.7,经检验,x≈18.7是原方程的解且符合题意.答:网络信号塔BC的高度约为18.7 m.

6.(2024·河南模拟)如图，亮亮和聪聪两人在某地山坡上发现一个垂直于地平面的通信塔，亮亮站在房子二楼，让聪聪在地面移动水平放置的小平面镜至点C处，此时亮亮在小平面镜内恰好看到塔顶E，经测量，亮亮的眼睛到地面的距离AB = 4.8 m，BC = 7.2 m，CD = 15 m，在点D处测得通信塔顶端E的仰角α为53°.已知点B，C，D在同一条水平直线上，求塔顶E到水平地面的距离.(参考数据：sin 37°≈$\frac{3}{5}$，cos 37°≈$\frac{4}{5}$，tan 37°≈$\frac{3}{4}$，sin 53°≈$\frac{4}{5}$，cos 53°≈$\frac{3}{5}$，tan 53°≈$\frac{4}{3}$)

答案： 解:过点E作EF⊥CD,交CD的延长线于点F,在Rt△DFE中,∠EDF = α = 53°,
∴tan53°=$\frac{EF}{DF}≈\frac{4}{3}$.设EF = 4x,则DF = 3x,
∴CF = CD + DF = (15 + 3x),由题意,得∠ABC = ∠EFC = 90°,∠ACB = ∠ECF,
∴△CFE∽△CBA.
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{EF}{CF}$.
∴$\frac{4.8}{7.2}=\frac{4x}{15 + 3x}$.解得:x = 5,经检验:x = 5是原方程的解,
∴EF = 4x = 20(m).