《2025年名师学案九年级数学下册人教版》

8. 如图，BE，CD是△ABC的中线，BE和CD相交于O，连接DE.下列结论：
①$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$；②$\frac{S_{△DOE}}{S_{△BOC}}=\frac{1}{2}$；③$\frac{C_{△DOE}}{C_{△BOC}}=\frac{1}{2}$；
④$\frac{AD}{AB}=\frac{OD}{OC}$；⑤$S_{△BOD}=2S_{△DOE}=S_{△COE}$.其中正确的结论有（ ）

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

答案： B

9.（教材P43习题T12改编）
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE//BC.
（1）若AD：DB = 1：2，则△ADE与△ABC的周长比是________，$S_{△ADE}:S_{四边形DBCE}$=________；
（2）过点A作AG⊥BC于G，交DE于H，若△ADE与△ABC的周长比是1：3，则AH：GH的值是________；
（3）若$S_{△ADE}=S_{四边形DBCE}$，则AD：AB = ________.

答案：
(1)1 : 3，$\frac{1}{8}$
(2)$\frac{1}{2}$
(3)$\sqrt{2}$ : 2

10. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
（1）若AB = 8，则线段AD的长是________；
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积.

答案：
(1)2 解：
(2)$\because\triangle ADE\sim\triangle ABC$，$\therefore\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{DE}{BC})^2 = (\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$.$\because\triangle ADE$的面积为 1，$\therefore\triangle ABC$的面积是 16.$\because$四边形$BFED$是平行四边形，$\therefore EF// AB$.$\therefore\triangle EFC\sim\triangle ABC$，$\frac{S_{\triangle EFC}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$.$\therefore\triangle EFC$的面积为 9.$\therefore$平行四边形$BFED$的面积$=16 - 9 - 1 = 6$.

11.【一日一优】【新中考·新定义型阅读理解题】定义：三角形的顶点到该角的外角平分线与该角对边所在直线的交点之间的连线叫做三角形的“外角平分线”.我们在学习相似三角形的性质时，证明过“两个相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线之比都等于相似比”，猜想“两个相似三角形对应角的外角平分线之比是不是也等于相似比？”例如：如图，已知△ABC∽△A'B'C'，且△ABC与△A'B'C'的相似比为k，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的外角平分线，那么$\frac{AD}{A'D'}=k$是否成立？如果不成立，请说明理由；如果成立，请结合图①，图②加以证明.

答案： 解：$\frac{AD}{A'D'}=k$成立，证明如下：$\because\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，且相似比是$k$，$\therefore\angle BAC=\angle B'A'C'$，$\angle ABC=\angle A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'}=k$.$\therefore\angle BAE=\angle B'A'E'$，$\angle ABD=\angle A'B'D'$.$\because AD$，$A'D'$分别是$\angle BAE$和$\angle B'A'E'$的平分线，$\therefore\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAE$，$\angle B'A'D'=\frac{1}{2}\angle B'A'E'$.$\therefore\angle BAD=\angle B'A'D'$. 又$\because\angle ABD=\angle A'B'D'$，$\therefore\triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$.$\therefore\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$.