《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

5. 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式.只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如x²+ax = b²(a＞0,b＞0)的方程的解法是:如图，以$\frac{a}{2}$和b为两直角边作直角△ABC，再在斜边上截取BD = $\frac{a}{2}$，则AD的长就是所求方程的一个解.
(1) 若a = 4,b = 3，求图中线段AD的长，并验证线段AD的长是方程x²+4x = 3²的一个解.
(2) 现在我们知道一元二次方程若有实数解都有两个，若图中线段AD的长为m，那么方程x²+ax = b²(a＞0,b＞0)的一个解记为x₁ = m，请探究该方程的另一个解x₂是否也可用图中相关线段的长来表示? 若可以，请用相关线段的长表示另一个解x₂;若不可以，请说明理由.

答案： 5解析
(1)
∵a = 4,b = 3,
∴BD = $\frac{a}{2}$ = 2,AB = $\sqrt{2^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{13}$,
∴AD = $\sqrt{13}$ - 2,
当x = $\sqrt{13}$ - 2时，
x² + 4x = ($\sqrt{13}$ - 2)² + 4($\sqrt{13}$ - 2) = 17 - 4$\sqrt{13}$ + 4$\sqrt{13}$ - 8 = 9 = 3²,
∴x = $\sqrt{13}$ - 2是方程x² + 4x = 3²的一个解,即线段AD的长是方程x² + 4x = 3²的一个解.
(2)不可以,理由:在Rt△ABC中,
AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{b^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}$,
∵BC = BD = $\frac{a}{2}$,
∴AD = AB - BD = $\sqrt{b^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}$ - $\frac{a}{2}$,
∵x² + ax = b²(a ＞ 0,b ＞ 0),
∴x² + ax + ($\frac{a}{2}$)² = b² + ($\frac{a}{2}$)²,
∴(x + $\frac{a}{2}$)² = b² + ($\frac{a}{2}$)²,
∴x + $\frac{a}{2}$ = ±$\sqrt{b^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}$,
∴x₁ = - $\frac{a}{2}$ + $\sqrt{b^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}$,x₂ = - $\frac{a}{2}$ - $\sqrt{b^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}$,
∴x₁ = AB - BC = AD,x₂ = - AB - BC ＜ 0,
∴无法用图中线段的长来表示另一个解x₂.

6. 华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于x²+bx+c = 0，将等式左边进行因式分解，得到以下形式:x²+bx+c=(x - m)(x - n)(从这里可以看出方程的解为x₁ = m,x₂ = n)，即x²+bx+c=x²-(m + n)x+mn，因为m + n = -b，所以m、n的平均数为 - $\frac{b}{2}$，不妨设m = - $\frac{b}{2}$+p,n = - $\frac{b}{2}$-p，利用x₁·x₂ = mn，得(- $\frac{b}{2}$+p)·(- $\frac{b}{2}$-p)=c，所以(- $\frac{b}{2}$)²-p² = c，即能求出p的值.举例如下:解一元二次方程x²-2x - 4 = 0，由于 - $\frac{b}{2}$=1，所以设方程的两个根分别为1 + p,1 - p，而1²-p² = -4，解得p = ±$\sqrt{5}$，所以方程的解为x₁ = 1+$\sqrt{5}$,x₂ = 1-$\sqrt{5}$.
请运用以上方法解下列方程:
(1) x²-2$\sqrt{3}$x - 4 = 0.
(2) 3x²-$\sqrt{11}$x+$\frac{1}{2}$=0.

答案： 解析
(1)x² - 2$\sqrt{3}$x - 4 = 0,
∵ - $\frac{b}{2}$ = $\sqrt{3}$,
∴设方程的两个根分别为$\sqrt{3}$ + p,$\sqrt{3}$ - p,
∵3 - p² = - 4,
∴p = ±$\sqrt{7}$,
∴x₁ = $\sqrt{3}$ + $\sqrt{7}$,x₂ = $\sqrt{3}$ - $\sqrt{7}$.
(2)3x² - $\sqrt{11}$x + $\frac{1}{2}$ = 0,两边同时除以3得x² - $\frac{\sqrt{11}}{3}$x + $\frac{1}{6}$ = 0,
∵ - $\frac{b}{2}$ = $\frac{\sqrt{11}}{6}$,
∴设方程的两个根分别为$\frac{\sqrt{11}}{6}$ + p,$\frac{\sqrt{11}}{6}$ - p,
∵$\frac{11}{36}$ - p² = $\frac{1}{6}$,
∴p = ±$\frac{\sqrt{5}}{6}$,
∴x₁ = $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{6}$,x₂ = $\frac{\sqrt{11}-\sqrt{5}}{6}$.