《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

16.(2023北京海淀师达中学四模改编)(6分)下面是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知：如图1，在△ABC中，∠ABC = 90°，点O是AC边的中点.
求证：OB = $\frac{1}{2}$AC.

方法一：(如图2)
证明：延长BO至D，使OD = OB，连接AD，CD.

方法二：(如图3)
证明：取BC的中点D，连接OD

答案： 解析　两种方法任选一种证明即可.
　　方法一，证明：如题图2，延长BO至D，使$OD = OB$，连接AD，CD.
　
∵点O是AC边的中点，
∴$AO = CO$，
　
∵$BO = OD$，
∴四边形ABCD是平行四边形，
　
∵$\angle ABC = 90^{\circ}$，
∴四边形ABCD是矩形，
　
∴$AC = BD$，
　
∴$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC$.
　　方法二，证明：如题图3，取BC的中点D，连接OD.
　
∵点O是AC边的中点，
　
∴OD为$\triangle ABC$的中位线，
∴$OD// AB$，
　
∴$\angle ABC=\angle ODC=\angle ODB = 90^{\circ}$，
　
∵$BD = CD$，$OD = OD$，
∴$\triangle BOD\cong\triangle COD$，
　
∴$BO = OC=\frac{1}{2}AC$.

17.(2024北京房山期末)(6分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE//AC，BE = $\frac{1}{2}$AC，连接AE.
(1)求证：四边形AEBO是矩形.
(2)若BC = 10，∠BCD = 60°，求四边形AEBO的面积.

答案： 解析　
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
　
∴$OA = OC=\frac{1}{2}AC$，$AC\perp BD$，
∴$\angle AOB = 90^{\circ}$，
　
∵$BE=\frac{1}{2}AC$，
∴$OA = BE$，
　
∵$BE// AC$，
∴四边形AEBO是平行四边形，
　　又
∵$\angle AOB = 90^{\circ}$，
∴平行四边形AEBO是矩形.
(2)
∵四边形ABCD是菱形，$\angle BCD = 60^{\circ}$，
　
∴$\angle BCO=\frac{1}{2}\angle BCD = 30^{\circ}$，
　
∵$\angle BOC = 90^{\circ}$，
∴$OB=\frac{1}{2}BC = 5$，
　
∴$OA = OC=\sqrt{BC^{2}-OB^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=5\sqrt{3}$，
　　由
(1)得四边形AEBO是矩形，
　
∴四边形AEBO的面积为$OA\cdot OB = 5\sqrt{3}\times5 = 25\sqrt{3}$.

18.(2023北京西城一模)(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在线段AD上，点F在线段AD的延长线上，CE//FB，连接BE，CF.
(1)如图1，求证：四边形BFCE是平行四边形；
(2)若∠ABC = ∠ACB，
①依题意补全图2；
②求证：四边形BFCE为菱形.
　　　

答案：
解析　
(1)证明：
∵$CE// FB$，
　
∴$\angle BFE=\angle CEF$，
　
∵AD是BC边上的中线，
　
∴$BD = DC$，
　
∵$\angle BDF=\angle CDE$，
　
∴$\triangle BDF\cong\triangle CDE$，
∴$FB = CE$，
　
∴四边形BFCE是平行四边形.
(2)①依题意补全图形，如图.
　　②证明：
∵$\angle ABC=\angle ACB$，
　
∴$AB = AC$，
　
∵AD是BC边上的中线，
　　　　　　　　　　　　　　　　
　
　
　
　
　
　
　
　
∴$AD\perp BC$，
　　　　　　　　　　　　　　　　由
(1)的证明方法可得四边形BFCE是平行四边形，
　
　
　
　
　
　
　
　
∴四边形BFCE为菱形.