《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

1. (2024福建福州屏东中学期中)若关于x的方程$(x - 2)^2 = m + 1$有实数根,则m的取值范围是 ( )
A. $m＞1$
B. $m＞-1$
C. $m\geqslant1$
D. $m\geqslant - 1$

答案： D
∵关于x的方程$(x - 2)^2 = m + 1$有实数根，
∴$m + 1\geq0$，解得$m\geq - 1$，故选D。

2. (2024北京顺义期末)方程$x^2 - 9 = 0$的解是 ( )
A. $x=-3$
B. $x = 3$
C. $x_1=-3,x_2 = 3$
D. $x_1=-\sqrt{3},x_2=\sqrt{3}$

答案： C $x^2 - 9 = 0$，移项得$x^2 = 9$，两边直接开平方得$x = \pm3$，
∴$x_1 = -3$，$x_2 = 3$。故选C。

3. (2024北京八十九中月考)一元二次方程$(x - 3)^2 = 2$的根是______________.

答案： 答案 $x_1 = 3 + \sqrt{2}$，$x_2 = 3 - \sqrt{2}$
解析 $(x - 3)^2 = 2$，
∴$x - 3 = \pm\sqrt{2}$，
∴$x_1 = 3 + \sqrt{2}$，$x_2 = 3 - \sqrt{2}$。

4. 降次法 用开平方法解方程.(M8216002)
(1) $x^2 = 64$.
(2) $9x^2 - 25 = 0$.
(3) $(x + 6)^2 - 9 = 0$.
(4) $(x - 2)^2=(3x + 4)^2$.

答案： 解析
(1)
∵$x^2 = 64$，
∴$x = \pm8$，
∴$x_1 = 8$，$x_2 = -8$。
(2)移项得$9x^2 = 25$，系数化为1，得$x^2 = \frac{25}{9}$，
∴$x = \pm\frac{5}{3}$，
∴$x_1 = \frac{5}{3}$，$x_2 = -\frac{5}{3}$。
(3)原方程可化为$(x + 6)^2 = 9$，开平方，得$x + 6 = \pm3$，
∴$x_1 = -3$，$x_2 = -9$。
(4)开平方，得$x - 2 = \pm(3x + 4)$，$x - 2 = 3x + 4$或$x - 2 = -(3x + 4)$，整理得$-2x = 6$或$x - 2 = -3x - 4$，
∴$x = -3$或$x = -\frac{1}{2}$，
∴原方程的解为$x_1 = -3$，$x_2 = -\frac{1}{2}$。

5. (2024北京通州期末)用配方法解方程$x^2 - 6x + 2 = 0$,下列变形正确的是 ( )
A. $(x - 3)^2=-2$
B. $(x + 3)^2=-2$
C. $(x - 3)^2 = 7$
D. $(x + 3)^2 = 7$

答案： C $x^2 - 6x + 2 = 0$，移项得$x^2 - 6x = -2$，左右两边同时加9，得$x^2 - 6x + 9 = 9 - 2$，则$(x - 3)^2 = 7$。故选C。

6. 数形结合思想 (2024江苏常州期末)如图,在用配方法解一元二次方程$x^2 + 6x = 40$时,配方的过程可以用拼图直观地表示,即看成将一个长是$(x + 6)$、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形,则m的值是______.

答案： 答案 3
解析 $x^2 + 6x = 40$，左右两边同时加9，得$x^2 + 6x + 9 = 40 + 9$，
∴$(x + 3)^2 = 49$，
∴$m = 3$。

7. 用配方法解下列方程.(M8216002)
(1) (2023北京通州期末)$x^2 - 4x - 2 = 0$.
(2) $2x^2 - 4x - 3 = 0$.
(3) $x(x - 4)=2 - 8x$.

答案： 解析
(1)$x^2 - 4x - 2 = 0$，移项得$x^2 - 4x = 2$，配方得$x^2 - 4x + 4 = 2 + 4$，即$(x - 2)^2 = 6$，开方得$x - 2 = \pm\sqrt{6}$，
∴原方程的解是$x_1 = 2 + \sqrt{6}$，$x_2 = 2 - \sqrt{6}$。
(2)$2x^2 - 4x - 3 = 0$，移项得$2x^2 - 4x = 3$，即$x^2 - 2x = \frac{3}{2}$，配方得$x^2 - 2x + 1 = \frac{3}{2} + 1$，即$(x - 1)^2 = \frac{5}{2}$，开方得$x - 1 = \pm\sqrt{\frac{5}{2}}$，
∴$x = 1 \pm\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$x_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{2}$。
(3)$x(x - 4) = 2 - 8x$，整理得$x^2 + 4x = 2$，配方得$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$，即$(x + 2)^2 = 6$，开方得$x + 2 = \pm\sqrt{6}$，
∴$x_1 = -2 + \sqrt{6}$，$x_2 = -2 - \sqrt{6}$。

8. (2024浙江杭州西湖云城中学期中,7,★☆☆)若一元二次方程$ax^2 = 1(a＞0)$的两根分别是$m + 1$与$2m - 4$,则这两根分别是 ( )
A. 1,4
B. 1,-1
C. 2,-2
D. 3,0

答案： C 由题意知，方程$ax^2 = 1(a ＞ 0)$的两根互为相反数，
∴$m + 1 + 2m - 4 = 0$，解得$m = 1$，
∴$m + 1 = 2$，$2m - 4 = -2$，故选C。

9. (2024北京顺义牛栏山一中实验学校月考,5,★☆☆)下列配方中,变形正确的是 ( )
A. $x^2 + 2x=(x + 1)^2$
B. $x^2 - 4x - 3=(x - 2)^2 + 1$
C. $2x^2 + 4x + 3 = 2(x + 1)^2 + 1$
D. $-x^2 + 2x=-(x + 1)^2 + 2$

答案： C $x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)^2 - 1$，故A错误；$x^2 - 4x - 3 = x^2 - 4x + 4 - 4 - 3 = (x^2 - 4x + 4) + (-4 - 3) = (x - 2)^2 - 7$，故B错误；$2x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 + 2x) + 3 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3 = 2(x^2 + 2x + 1) - 2\times1 + 3 = 2(x + 1)^2 - 2 + 3 = 2(x + 1)^2 + 1$，故C正确；$-x^2 + 2x = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x^2 - 2x + 1) + 1 = -(x - 1)^2 + 1$，故D错误。故选C。

10. 新考向·新定义试题 (2022河北保定阜平期中,19,★☆☆)定义一种新的运算“*”,其规则为$a*b=a^2 - b^2$.
(1) 根据这个运算规则,计算$3*(-5)$的值.
(2) 求关于x的方程$(x + 2)*5 = 0$的解.

答案： 解析
(1)由题意得$3*(-5) = 3^2 - (-5)^2 = 9 - 25 = -16$。
(2)
∵$(x + 2)*5 = 0$，
∴$(x + 2)^2 - 5^2 = 0$，
∴$(x + 2)^2 = 25$，
∴$x + 2 = \pm5$，
∴$x_1 = 3$，$x_2 = -7$。