《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

19.(2024北京大兴模拟)(8分)在平面直角坐标系xOy中,函数y = kx + b(k≠0)的图象经过点A(1,3)和B(-1,-1),与过点(-2,0)且平行于y轴的直线交于点C.
(1)求该函数的表达式及点C的坐标.
(2)当x＜-2时,对于x的每一个值,函数y = nx(n≠0)的值都大于函数y = kx + b(k≠0)的值且小于-2,直接写出n的取值范围.

答案：
(1)将A(1,3)，B(-1,-1)代入y = kx + b(k≠0)，得$\begin{cases}k + b = 3\\-k + b = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = 1\end{cases}$，
∴该函数的表达式为y = 2x + 1，
∵过点(-2,0)且平行于y轴的直线为x = -2，
∴点C的横坐标为-2，在y = 2x + 1中，令x = -2，得y = -3，
∴点C的坐标为(-2,-3).
(2)1≤n≤$\frac{3}{2}$.
详解：
∵当x ＜ -2时，对于x的每一个值，函数y = nx(n≠0)的值都大于函数y = 2x + 1的值且小于-2，
∴2×(-2) + 1≤ -2n≤ -2，解得1≤n≤$\frac{3}{2}$，
∴n的取值范围是1≤n≤$\frac{3}{2}$.

20.(2023山东日照中考)(9分)要制作200个A,B两种规格的顶部无盖木盒,A种规格是长、宽、高都为20 cm的正方体无盖木盒,B种规格是长、宽、高各为20 cm,20 cm,10 cm的长方体无盖木盒,如图1.现有200张规格为40 cm×40 cm的木板材,对该种木板材有甲、乙两种切割方式,如图2.切割、拼接等板材损耗忽略不计.(M8214006)
(1)设制作A种木盒x个,则制作B种木盒______个.
设使用甲种方式切割的木板材有y张,则使用乙种方式切割的木板材有____张.
(2)用200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒,请分别求出A,B木盒的个数和使用甲,乙两种方式切割的木板材张数.
(3)包括材质等成本在内,用甲种切割方式的木板材每张成本5元,用乙种切割方式的木板材每张成本8元.根据市场调研,A种木盒的销售单价定为a元,B种木盒的销售单价定为(20 - $\frac{1}{2}$a)元,两种木盒的销售单价均不能低于7元,不超过18元.在(2)的条件下,求两种木盒的销售单价分别定为多少元时,这批木盒的销售利润最大,并求出最大利润.
      

答案：
(1)要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，
∴制作B种木盒(200 - x)个.
∵有200张规格为40 cm×40 cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材有y张，
∴使用乙种方式切割的木板材有(200 - y)张. 故答案为(200 - x)；(200 - y).
(2)由
(1)知使用甲种方式切割的木板材有y张，则可切割出4y个长、宽均为20 cm的木板，使用乙种方式切割的木板材有(200 - y)张，则可切割出8(200 - y)个长为20 cm、宽为10 cm的木板. 由
(1)知制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20 cm的木板5x个，制作B种木盒(200 - x)个，则需要长、宽均为20 cm的木板(200 - x)个，需要长为20 cm、宽为10 cm的木板4(200 - x)个，
∵用200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，
∴可列出方程组为$\begin{cases}4y = 5x + (200 - x)\\8(200 - y) = 4(200 - x)\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 100\\y = 150\end{cases}$，故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板材有150张，使用乙种方式切割的木板材有50张.
(3)
∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板材有150张，使用乙种方式切割的木板材有50张，
∴总成本为150×5 + 8×50 = 1150(元).
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
∴$\begin{cases}7≤a≤18\\7≤20 - \frac{1}{2}a≤18\end{cases}$，解得7≤a≤18. 设这批木盒的销售利润为w元，则w = 100a + 100(20 - $\frac{1}{2}$a) - 1150，整理得w = 850 + 50a，
∵50 ＞ 0，
∴w随a的增大而增大，故当a = 18时，w有最大值，最大值为850 + 50×18 = 1750，此时B种木盒的销售单价为20 - $\frac{1}{2}$×18 = 11(元)，故A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元.