《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

12.(2023北京大兴二模,21,)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE=CD.过点E作EF//AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF.
(1)求证：四边形ADFE是平行四边形.
(2)过点E作EG⊥DF于点G，若BD=2，AE=5，求EG的长.

答案：
解析
(1)证明：
∵EF//AD,
∴∠FEC = ∠ADC,
又
∵CE = CD,∠FCE = ∠ACD,
∴△FCE≌△ACD(ASA),
∴EF = AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
(2)如图,
由
(1)可知,四边形ADFE是平行四边形,
∴DF = AE = 5,CD = CE,
∵AB = AC,AD⊥BC,
∴CD = BD = 2,
∴CE = CD = 2,
∴DE = 2CD = 4,
∵EF//AD,
∴EF⊥BE,
∴∠DEF = 90°,
∴EF = √(DF² - DE²)=√(5² - 4²)= 3,
∵EG⊥DF,
∴S△DEF = 1/2DF·EG = 1/2DE·EF,
∴EG = DE·EF/DF = 4×3/5 = $\frac{12}{5}$,即EG的长为$\frac{12}{5}$.

13.(2024北京门头沟大峪中学期中,19,)如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE=CF.
(1)求证：△CDE≌△ABF.
(2)连接BE、DF，求证：四边形BFDE为平行四边形.

答案： 解析
(1)
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB = CD,AB//CD,
∴∠BAF = ∠DCE,
∵AE = CF,
∴AF = CE,
∴△CDE≌△ABF(SAS).
(2)证明：
∵△CDE≌△ABF,
∴DE = BF,∠DEC = ∠BFA,
∴DE//BF,
∴四边形BFDE为平行四边形.

14.[推理能力] 如图1，□ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案.

(1)正确的方案有__________种.
(2)针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程.

答案：
解析
(1)3.
(2)三种方案任选其一进行证明即可.
选择方案甲.证明：连接AC,如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,

∴AC过点O,OB = OD,OA = OC,
∵BN = NO,OM = MD,
∴NO = OM,
∴四边形ANCM为平行四边形.
选择方案乙.证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB = CD,AB//CD,
∴∠ABN = ∠CDM,
∵AN⊥BD,CM⊥BD,
∴AN//CM,∠ANB = ∠CMD = 90°,
在△ABN和△CDM中,{∠ABN = ∠CDM,∠ANB = ∠CMD,AB = CD,
∴△ABN≌△CDM(AAS),
∴AN = CM,
又
∵AN//CM,
∴四边形ANCM为平行四边形.
选择方案丙.证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD = ∠BCD,AB = CD,AB//CD,
∴∠ABN = ∠CDM,
∵AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,
∴∠BAN = ∠DCM,
在△ABN和△CDM中,{∠ABN = ∠CDM,AB = CD,∠BAN = ∠DCM,
∴△ABN≌△CDM(ASA),
∴AN = CM,∠ANB = ∠CMD,
∴∠ANM = ∠CMN,
∴AN//CM,
∴四边形ANCM为平行四边形.