《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

1.(2024山东东营垦利模拟)如果一元二次方程$x^{2}+px+q = 0$能用公式法求解,那么必须满足的条件是 ( )
A.$p^{2}-4q\geqslant0$
B.$p^{2}-4q\leqslant0$
C.$p^{2}-4q＞0$
D.$p^{2}-4q＜0$

答案： 1A
∵a = 1,b = p,c = q,
∴当b² - 4ac = p² - 4q≥0时,一元二次方程x² + px + q = 0能用公式法求解,故选A.

2.(2023山东烟台莱州期中)用公式法解一个一元二次方程的根为$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}+4\times3\times1}}{2\times3}$,则此方程的二项式系数,一次项系数,常数项分别为 ( )
A.3,5,-1
B.-3,-5,1
C.3,-5,1
D.-3,5,-1

答案： 2A 根据一元二次方程ax² + bx + c = 0(a≠0)的求根公式x = $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}+4\times3\times1}}{2\times3}$,可得a = 3,b = 5,c = - 1,
∴此方程的二次项系数,一次项系数,常数项分别为3,5,- 1,故选A.

3.用公式法解方程$5x + 2 = 3x^{2}$.
方程化为一般形式,得____________,
所以$a =$________, $b =$________, $c =$________,
所以$\Delta=b^{2}-4ac =$________,
所以$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=$________,
所以$x_{1} =$________, $x_{2} =$________.

答案： 3答案 3x² - 5x - 2 = 0;3;- 5;- 2;49;$\frac{5\pm7}{6}$;2;-$\frac{1}{3}$

4.教材变式·P100T1 用公式法解下列方程:
(1)$x^{2}-7x = 18$;
(2)$\sqrt{2}x^{2}-3x+\sqrt{2}=0$.

答案： 4解析
(1)整理,得x² - 7x - 18 = 0,
∵a = 1,b = - 7,c = - 18,
∴b² - 4ac = (- 7)² - 4×1×(- 18)=121＞0,
∴x = $\frac{7\pm\sqrt{121}}{2}=\frac{7\pm11}{2}$,
∴x₁ = 9,x₂ = - 2.
(2)
∵a = $\sqrt{2}$,b = - 3,c = $\sqrt{2}$,
∴b² - 4ac = (- 3)² - 4×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=9 - 8 = 1＞0,
∴x = $\frac{3\pm1}{2\sqrt{2}}$,
∴x₁ = $\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$,x₂ = $\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

5.(2024四川自贡中考)关于$x$的方程$x^{2}+mx - 2 = 0$根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： 5A 对于方程x² + mx - 2 = 0,
∵a = 1,b = m,c = - 2,
∴Δ = m² + 8＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.

6.北京常考·根的判别式 (2022北京中考)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+x + m = 0$有两个相等的实数根,则实数$m$的值为 ( )
A.-4
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{4}$
D.4

答案： 6C 根据题意得Δ = 1² - 4m = 0,解得m = $\frac{1}{4}$.
故选C.

7.(2024北京通州期末)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x + m = 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是________.

答案： 7答案 m＜1
解析
∵一元二次方程x² + 2x + m = 0有两个不相等的实数根,
∴Δ = b² - 4ac = 2² - 4×1×m＞0,
解得m＜1.

8.若一次函数$y = ax + c$的图象过第一、三、四象限,则关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的实数根的情况是________________.

答案： 8答案 有两个不相等的实数根
解析 根据一次函数图象经过的象限得出a＞0,c＜0,
∴ac＜0,
∴Δ = b² - 4ac＞0,
∴方程ax² + bx + c = 0有两个不相等的实数根.

9.不解方程,判断下列方程根的情况:
(1)$16y^{2}+9 = 24y$.
(2)$5(x^{2}+1)-7x = 0$.
(3)$3(x^{2}-1)=5x$.

答案： 9解析
(1)16y² + 9 = 24y的一般形式为16y² - 24y + 9 = 0,Δ = b² - 4ac = 576 - 4×16×9 = 0,
故方程有两个相等的实数根.
(2)5(x² + 1)-7x = 0的一般形式为5x² - 7x + 5 = 0,Δ = b² - 4ac = 49 - 4×5×5 = - 51＜0,
故方程没有实数根.
(3)3(x² - 1)=5x的一般形式为3x² - 5x - 3 = 0,
Δ = b² - 4ac = (- 5)² - 4×3×(- 3)=61＞0,
所以此方程有两个不相等的实数根.