《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

19.(2023黑龙江哈尔滨中考,24,★★☆)已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC.
(1)如图①，求证△AED≌△EFB.
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH//AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角(∠BAE除外)，使写出的每个角都与∠BAE相等.

答案： 解析
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD = BC，
∴∠ADE = ∠EBF，
∵BC = BE，
∴AD = BE，
在△AED和△EFB中，
$\begin{cases}AD = BE,\\∠ADE = ∠FBE,\\DE = BF,\end{cases}$
∴△AED≌△EFB(SAS).
(2)与∠BAE相等的角是∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH.
详解:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AB//CD，
∵AB = AD，
∴AB = BC，
∵BE = BC，
∴AB = BE，
∴∠AEB = ∠BAE，
∵CH//AE，
∴∠DHC = ∠BEA，
∵AB//CD，
∴∠CDH = ∠ABE，
∴∠DCH = ∠BAE = ∠AEB = ∠DHC，
∵△AED≌△EFB(SAS)，
∴∠AED = ∠EFB，
∴∠EFC = ∠AEB，
∴与∠BAE相等的角是∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH.

20.推理能力 (2024北京八中月考)如图①，□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.
(1)求证：OE=OF.
(2)如图②，已知AD=1，BD=2，AC=2√2，∠DOF=α，
①当α为多少度时，EF⊥AC?
②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长.

答案： 解析
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB = OD，AB//CD.
∴∠EBO = ∠FDO.
∵∠BOE = ∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA).
∴OE = OF.
(2)①
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD = $\frac{1}{2}BD = 1$，OA = $\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，
又
∵AD = 1，
∴$AD^{2}+OD^{2}=OA^{2}$.
∴∠ADO = 90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠AOD = 45°.
∵EF⊥AC，
∴α = 90° - ∠AOD = 90° - 45° = 45°.
②由
(1)可得EF垂直平分AC，
∴AF = FC，
又AB = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}=CD$，
∴△ADF的周长 = AD + DF + AF = AD + CD = 1+$\sqrt{5}$.