《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

4.（2024江苏宿迁宿城期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数y=kx+b(k≠0)的图象，作该图象在直线x=m的右侧部分关于直线x=m的轴对称图形，与原图象在直线x=m的右侧部分及与直线x=m的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x=m的“V型函数”.例如：图1是一次函数y=x+2关于直线x=-1的“V型函数”图象.
（1）请在图2中画出函数y=x+2关于直线x=0的“V型函数”图象.
（2）若函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则m=________.
（3）如图3，点C(-12,0)，以OC为斜边在x轴上方作等腰Rt△OCB，当函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与△OCB的边只有两个交点时，求m的取值范围.

答案：
(1)如图.
(2)令y=0，则0=x+10，解得x=-10，
∵函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，
∴m=-10.
(3)在等腰Rt△OCB中，点C(-12,0)，
∴OC=12，
∴点B(-6,6)，
∴直线OB的表达式为y=-x，解方程x+10=-x得x=-5，由
(2)知直线y=x+10与x轴的交点为(-10,0)，当-10＜m＜-5时，函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与△OCB的边只有两个交点，如图，当C(-12,0)与点(-10,0)关于x=m对称，即m=-11时，函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象经过点C(-12,0)，如图，
∴当函数y=x+10关于直线x=m的“V型函数”图象与△OCB的边只有两个交点时，m的取值范围为-10＜m＜-5或m＜-11.

5.（2024浙江金华金东期末）定义：我们把形如y=-kx - b(k≠0)的函数称为一次函数y=kx+b的“相反函数”.比如：函数y=-2x - 3是一次函数y=2x+3的“相反函数”.
（1）如图1，一次函数l1的图象分别交x轴、y轴于点(4,0)、(0,3)，请在图中画出该一次函数的“相反函数”l2的图象.
（2）写出一次函数y=kx+b与“相反函数”y=-kx - b(k≠0)之间的性质（至少两条）.
（3）在（1）中，如果函数l1、l2的图象交点为C，直线l1、l2与y轴分别交于点A、B.求△ABC的角平分线与对边的交点坐标.

答案：
(1)设一次函数l1的解析式为y=mx+n(k≠0)，
∴$\begin{cases}4m+n=0 \\ n=3\end{cases}$，
∴$\begin{cases}m=-\frac{3}{4} \\ n=3\end{cases}$，
∴一次函数l1的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴该一次函数的“相反函数”l2为y=$\frac{3}{4}$x-3.图象如图.
(2)①两个函数的图象关于x轴对称；②两个函数的图象都过点(-$\frac{b}{k}$,0).(答案不唯一)
(3)如图，由题意得△ABC是等腰三角形，
∴CO平分∠ACB，
∴此时过C的角平分线CO与对边AB的交点坐标为(0,0).当AD平分∠BAC时，作DE⊥AC于E，又DO⊥AO，
∴OD=ED，
∴Rt△AOD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AO=3.
∴CE=AC-AE=$\sqrt{OA^{2}+OC^{2}}$-3=5-3=2.设OD=x，则DE=x，DC=4-x.在Rt△DEC中，DC²=DE²+EC²，
∴(4-x)²=x²+2²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴D($\frac{3}{2}$,0)，易得直线AD的表达式为y=-2x+3.令-2x+3=$\frac{3}{4}$x-3，解得x=$\frac{24}{11}$.在y=$\frac{3}{4}$x-3中，当x=$\frac{24}{11}$时，y=-$\frac{15}{11}$，
∴F($\frac{24}{11}$,-$\frac{15}{11}$).
∴过A的角平分线AF与对边BC的交点坐标为($\frac{24}{11}$,-$\frac{15}{11}$).根据对称性可得过B的角平分线与对边AC的交点坐标为($\frac{24}{11}$,$\frac{15}{11}$).综上，△ABC的角平分线与对边的交点坐标为(0,0)或($\frac{24}{11}$,-$\frac{15}{11}$)或($\frac{24}{11}$,$\frac{15}{11}$).