《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

18.运算能力 (2024北京顺义期末)关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx + m - 1 = 0$. 
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程的一个根小于-2,求$m$的取值范围.

答案： 18解析
(1)证明:
∵a = 1,b = m,c = m - 1,
∴Δ = b² - 4ac = m² - 4(m - 1)=m² - 4m + 4=(m - 2)²≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)
∵Δ = (m - 2)²≥0,
∴x = $\frac{-m\pm|m - 2|}{2}$,
∴x₁ = - m + 1,x₂ = - 1.
∵此方程有一个根小于- 2,
∴- m + 1＜- 2,
∴m＞3.

19.运算能力 (2024四川南充中考)已知$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$k＜5$,且$k,x_{1},x_{2}$都是整数,求$k$的值.

答案： 19解析
(1)
∵原方程有两个不相等的实数根,
∴Δ = (- 2k)² - 4×1×(k² - k + 1)
= 4k² - 4k² + 4k - 4 = 4k - 4＞0,
解得k＞1.
(2)
∵1＜k＜5,
∴整数k的值为2,3,4.
当k = 2时,方程为x² - 4x + 3 = 0,解得x₁ = 1,x₂ = 3.
当k = 3或4时,方程的根不是整数,不符合题意.
综上所述,k的值为2.

1.(2024黑龙江龙东地区中考)关于$x$的一元二次方程$(m - 2)x^{2}+4x + 2 = 0$有两个实数根,则$m$的取值范围是 ( )
A.$m\leqslant4$
B.$m\geqslant4$
C.$m\geqslant -4$且$m\neq2$
D.$m\leqslant4$且$m\neq2$

答案： 1D 根据题意得16 - 4(m - 2)×2≥0且m - 2≠0,
解得m≤4且m≠2.
故选D.

2.分类讨论思想 关于$x$的方程$m^{2}x^{2}+(2m + 1)x + 1 = 0$有实数根,求$m$的取值范围.

答案： 2解析 当m = 0时,此方程为一元一次方程,方程有实数根.
当m≠0时,此方程为一元二次方程.
∵方程m²x² + (2m + 1)x + 1 = 0有实数根,
∴(2m + 1)² - 4m²≥0.
∴m≥-$\frac{1}{4}$.
综上,当m≥-$\frac{1}{4}$时,关于x的方程m²x² + (2m + 1)x + 1 = 0有实数根.