《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

7. (2024 甘肃兰州中考)关于 x 的一元二次方程$9x^{2}-6x + c = 0$有两个相等的实数根，则$c =$ ( )
A. -9
B. 4
C. -1
D. 1

答案： D $\because$关于$x$的一元二次方程$9x^{2}-6x + c = 0$有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta =(-6)^{2}-4\times9\times c = 0$，
解得$c = 1$，故选D.

8. (2024 河南天宏大联考)若一元二次方程$ax^{2}+2x + 2 = 0$有实数根，则实数 a 的取值范围是 ( )
A. $a＜\frac{1}{2}$且$a≠0$
B. $a≤1$
C. $a≤\frac{1}{2}$且$a≠0$
D. $a＜1$且$a≠0$

答案： C $\because$一元二次方程$ax^{2}+2x + 2 = 0$有实数根，$\therefore a\neq0$且$\Delta =b^{2}-4ac=2^{2}-4\times a\times2=4 - 8a\geq0$，解得$a\leq\frac{1}{2}$且$a\neq0$，故选C.

9. (2024 北京东城景山期末)若关于 x 的一元二次方程$kx^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是____________。

答案： 答案 $k＞-1$且$k\neq0$
解析 $\because$关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times k\times(-1)=4 + 4k＞0$，
$\therefore k＞-1$，
$\because kx^{2}-2x - 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
$\therefore k\neq0$，
$\therefore k$的取值范围是$k＞-1$且$k\neq0$.

10. (2024 北京石景山期末)已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}-1 = 0$有两个不相等的实数根。
(1)求 m 的取值范围。
(2)当 m 为满足条件的最小整数时，求出 m 的值及此时方程的两个根。

答案： 解析 （1）$\because$一元二次方程$x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}-1 = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta =[-(2m + 1)]^{2}-4(m^{2}-1)=4m + 5＞0$，
$\therefore m＞-\frac{5}{4}$.
（2）由题意得$m = -1$，此时方程为$x^{2}+x = 0$，
解得$x_{1}=0,x_{2}=-1$.

11. (2024 北京工业大学附中期中)已知关于 x 的一元二次方程$(b - c)x^{2}-2ax + b + c = 0$，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长。
(1)如果$x = 1$是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由。
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由。

答案： 解析 （1）$\triangle ABC$为等腰三角形，
理由：$\because x = 1$是一元二次方程$(b - c)x^{2}-2ax + b + c = 0$的根，
$\therefore b - c - 2a + b + c = 0$，$\therefore a = b$，
$\because b - c\neq0$，$\therefore b\neq c$，
$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形.
（2）$\triangle ABC$为直角三角形，
理由：$\because$方程有两个相等的实数根，
$\therefore (-2a)^{2}-4(b - c)(b + c)=0$，
$\therefore a^{2}+c^{2}=b^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$为直角三角形.