《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

1.(2024北京一〇一中学期中)如图，□ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，连接BE，BF，DE，DF.求证：四边形DEBF是平行四边形.
　　　　　　　　　　　　

答案：
证明 如图,连接DB交AC于O,

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD,OA = OC,
∵AE = CF,
∴AO - AE = CO - CF,即OE = OF,
又
∵OD = OB,
∴四边形DEBF是平行四边形.

2.对角互补模型 把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD(如图).有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.
(1)将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时(如图1)，通过观察或测量AE，AF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论.
(2)在旋转过程中，四边形AECF的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出四边形AECF的周长的最小值.
(3)若将(1)中三角尺的60°角的顶点P在AC上移动且与点A，C都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F(如图2)，那么PE、PF之间又有什么数量关系？并证明你的结论.
　　　　

答案：
解析
(1)AE = AF.
证明:
∵∠BAE + ∠EAC = ∠CAF + ∠EAC = 60°,
∴∠BAE = ∠CAF.
∵AB = AC,∠B = ∠ACF = 60°,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE = AF.
(2)周长是变化的.
由△ABE≌△ACF得到BE = CF,
∴CF + CE = BC = 4,
当AE,AF最短,即AE⊥BC、AF⊥CD时,四边形AECF的周长最小,此时在Rt△AEC中,AC = 4,EC = 2,
∴AE = 2√3,
同理可得此时AF = 2√3,
∴四边形AECF的周长的最小值为4 + 4√3.
(3)PE = PF.证明:如图,过点P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,
∴∠PME = ∠PNF = 90°,
∵在菱形ABCD中,CA平分∠BCD,
∴PM = PN,
∵∠BCD = 120°,∠EPF = 60°,
∴∠PEC + ∠PFC = 360° - (120° + 60°) = 180°,
∵∠PFN + ∠PFC = 180°,
∴∠PEC = ∠PFN,
又
∵∠PME = ∠PNF,PM = PN,
∴△PEM≌△PFN,
∴PE = PF.