《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

14.（2022湖南益阳中考,21,★★☆）如图，直线y = $\frac{1}{2}$x + 1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A'，经过点A'和y轴上的点B(0,2)的直线设为y = kx + b.
(1)求点A'的坐标.
(2)确定直线A'B对应的函数表达式.

答案： 14 解析
(1)在$y=\frac{1}{2}x + 1$中，令y = 0，则$\frac{1}{2}x + 1 = 0$，
∴x = -2，
∴A(-2,0).
∵点A关于y轴的对称点为$A'$，
∴$A'(2,0)$.
(2)
∵直线$A'B$对应的函数表达式为y = kx + b，
∴$\begin{cases}2k + b = 0\\b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 2\end{cases}$，
∴直线$A'B$对应的函数表达式为y = -x + 2.

15.（2024湖北武汉洪山期末,18,★★☆）如图，点P(x,y)在第一象限，且x + y = 6，点A的坐标为(4,0).设△OPA的面积为S.
(1)当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？
(2)若△OPA的面积大于9，请求出x的取值范围.

答案： 15 解析
(1)
∵点P(x,y)的横坐标为5，且x + y = 6，
∴点P的纵坐标为6 - 5 = 1，
∴$S=\frac{1}{2}OA×1=\frac{1}{2}×4×1 = 2$.
(2)
∵x + y = 6，
∴y = 6 - x，
∴$S=\frac{1}{2}OA·y = 2y = 2(6 - x)=12 - 2x$，
∵△OPA的面积大于9，
∴12 - 2x＞9，
∴$x＜\frac{3}{2}$，
∵点P(x,y)在第一象限，
∴$\begin{cases}x＞0\\6 - x＞0\end{cases}$，解得0＜x＜6.
∴$0＜x＜\frac{3}{2}$.

16.抽象能力 在平面直角坐标系xOy中，对于M，N两点，若在y轴上存在点T，使得∠MTN = 90°，且MT = NT，则称M，N两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点.已知A点的坐标是(2,0).
(1)如图①，在点B(2,-2)，C(0,1)，D(-2,0)中，点A的等垂点是点________（填“B”“C”或“D”）；
(2)如图②，若一次函数y = 2x - 1的图象上存在点A的等垂点A'，求点A'的坐标；
(3)若一次函数y = kx + b(k≠0)的图象上存在无数个点A的等垂点，直接写出该一次函数的所有表达式：________________.

答案：
16 解析
(1)取点T(0,2)，连接DT，AT，如图1.
∵D(-2,0)，A(2,0)，T(0,2)，
∴OT = OD = OA = 2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B(2,-2)，C(0,1)，D(-2,0)中，点A的等垂点是点D.

(2)①当点$A'$在x轴上方时，在y轴上存在点E，使得$\angle A'EA = 90^{\circ}$，$A'E = AE$，过$A'$作$A'F\perp y$轴于F，如图2.
∵点$A'$是点A的等垂点，
∴$\angle A'EA = 90^{\circ}$，$A'E = AE$，
∴$\angle A'EF = 90^{\circ}-\angle AEO=\angle EAO$，
∵$\angle A'FE=\angle EOA = 90^{\circ}$，
∴$\triangle A'FE\cong\triangle EOA$，
∴EF = AO = 2，$A'F = OE$，设OE = $A'F = m$，则OF = OE + EF = m + 2，
∴$A'(m,m + 2)$，将$A'(m,m + 2)$代入y = 2x - 1得，m + 2 = 2m - 1，解得m = 3，
∴$A'(3,5)$.
②当$A'$在x轴下方时，在y轴上存在点G，使得$\angle A'GA = 90^{\circ}$，$A'G = AG$，过$A'$作$A'H\perp y$轴于H，如图3.同①可证$\triangle AOG\cong\triangle GHA'$，
∴$A'H = OG$，GH = OA = 2，设$A'H = OG = n$，则OH = GH - OG = 2 - n，
∴$A'(-n,n - 2)$，将$A'(-n,n - 2)$代入y = 2x - 1得，n - 2 = -2n - 1，解得$n=\frac{1}{3}$，
∴$A'(-\frac{1}{3},-\frac{5}{3})$.
综上所述，点$A'$的坐标为(3,5)或$(-\frac{1}{3},-\frac{5}{3})$.


(3)满足条件的直线为y = x + 2或y = -x - 2.