《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

1. (2024四川泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定□ABCD为矩形的是 ( )
A. ∠A = 90°
B. ∠B = ∠C
C. AC = BD
D. AC⊥BD

答案： D
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A = 90°时，□ABCD是矩形，
∴选项A可以判定□ABCD为矩形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B + ∠C = 180°，当∠B = ∠C时，∠B = ∠C = 90°，
∴□ABCD为矩形，
∴选项B可以判定□ABCD为矩形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC = BD时，□ABCD是矩形，
∴选项C可以判定□ABCD为矩形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，
∴选项D不能判定□ABCD为矩形. 故选D.

2. (2024北京三帆中学模拟)如图,在平行四边形ABCD中,过对角线AC中点O作直线分别交BC,AD于点E,F,只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形,这个条件可以是______________(写出一个即可).

答案： 答案 ∠AEC = 90°(答案不唯一)
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，
∴AF//EC，AO = CO，
∴∠FAO = ∠ECO，
在△AOF和△COE中，$\begin{cases}∠AOF = ∠COE,\\AO = CO,\\∠FAO = ∠ECO,\end{cases}$
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF = EC，
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠AEC = 90°，
∴四边形AECF是矩形.
∴添加的条件是∠AEC = 90°.(答案不唯一)

3. (2023湖南岳阳中考)如图,点M在□ABCD的边AD上,BM = CM,请从以下三个选项中选择一个合适的选项作为已知条件,使□ABCD为矩形.
①∠1 = ∠2;②AM = DM;③∠3 = ∠4.
(1)你添加的条件是________(填序号).
(2)添加条件后,请证明□ABCD为矩形.

答案： 解析
(1)选择①②中的一个即可.
(2)答案不唯一，例如添加①∠1 = ∠2.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB = DC，
∴∠A + ∠D = 180°，
在△ABM和△DCM中，$\begin{cases}AB = DC,\\∠1 = ∠2,\\BM = CM,\end{cases}$
∴△ABM≌△DCM(SAS)，
∴∠A = ∠D = 90°，
∴□ABCD为矩形.

4. (2024内蒙古通辽中考)如图,□ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明□ABCD是菱形的是 ( )

A. ∠BAC = ∠BCA
B. ∠ABD = ∠CBD
C. OA² + OB² = AD²
D. AD² + OA² = OD²

答案： D
∵∠BAC = ∠BCA，
∴AB = BC，
∴□ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB = ∠CBD，
∵∠ABD = ∠CBD，
∴∠ABD = ∠ADB，
∴AB = AD，
∴□ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB = OD，
∵OA² + OB² = AD²，
∴OA² + OD² = AD²，
∴∠AOD = 90°，
∴AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
∵AD² + OA² = OD²，
∴∠OAD = 90°，
∴OA⊥AD，不能证得□ABCD是菱形，故选项D符合题意. 故选D.

5. 新独家原创 如图,已知四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,下列条件能使四边形ABCD是菱形的有______.(填序号)

①AB//CD,AD = BC,AC⊥BD;
②AB = CD,AD = BC,AB = BC;
③AB = CD,∠CAB = ∠ACD,∠ABD + ∠BAC = 90°;
④AO = CO,∠ABD = ∠CDB,AC⊥BD.

答案： 答案 ②③④
解析 由AB//CD，AD = BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，
∴①不能判定四边形ABCD是菱形，故①不符合题意；
∵AB = CD，AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB = BC，
∴□ABCD是菱形，故②符合题意；
∵∠CAB = ∠ACD，
∴AB//CD，
∵AB = CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABD + ∠BAC = 90°，
∴∠AOB = 90°，
∴AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形，故③符合题意；
∵AO = CO，∠ABD = ∠CDB，∠AOB = ∠COD，
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴BO = DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形，故④符合题意. 综上，能使四边形ABCD是菱形的有②③④.

6. (教材变式·P76T5)(2024北京大兴期中)如图,在□ABCD中,BD = AD,延长CB至点E,使BE = BD,连接AE.求证:四边形AEBD是菱形.

答案： 证明
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD = BC，
∵BD = AD，BE = BD，
∴AD = BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD = AD，
∴四边形AEBD是菱形.