《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

3. (2024北京首师大二附中期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M、N分别在x轴、y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN = 4，PN = 2，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为____________。
　　　　　　

答案：
答案 2 + 2$\sqrt{2}$
解析 如图,取MN的中点E,连接OE,PE,OP,

∵∠MON = 90°,点E是MN的中点,
∴OE = NE = EM=$\frac{1}{2}$MN = 2,
∵∠MNP = 90°,PN = 2,NE = 2,
∴Rt△PNE中,PE=$\sqrt{PN^{2}+NE^{2}}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$,
∵OP≤PE + OE = 2 + 2$\sqrt{2}$,
∴OP的最大值为2 + 2$\sqrt{2}$,即点P到原点O的距离的最大值为2 + 2$\sqrt{2}$.

4. (2023北京东直门中学期中)如图，在正方形ABCD中，AB = 5，E、F分别为AD、AB上的点，且AE = AF，连接BE、CF，则BE + CF的最小值是________。
　　　　　　

答案：
答案 5$\sqrt{5}$
解析 如图,连接DF,作点D关于AB的对称点D',连接CD'交AB于点F',连接D'F,则DF = D'F,

∵四边形ABCD是正方形,
∴AD = AB,∠BAE = ∠DAF = 90°,
在△ADF和△ABE中,$\begin{cases}AD = AB\\\angle FAD = \angle EAB\\AF = AE\end{cases}$,
∴△ADF≌△ABE(SAS),
∴DF = BE,
∴BE + CF = DF + CF = D'F + CF≥CD',
∴当点F与点F'重合时,D'F + CF最小,最小值为CD'的长,
在Rt△CDD'中,由勾股定理得CD'=$\sqrt{CD^{2}+DD'^{2}}=\sqrt{5^{2}+10^{2}} = 5\sqrt{5}$,
∴BE + CF的最小值是5$\sqrt{5}$.

5. (2024黑龙江哈尔滨一一三中学期中)如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D'，两图叠成一个“蝶形风筝”(阴影部分)，则这个“蝶形风筝”的周长是______。
　　　　　　

答案：
答案 $\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}$
解析 设B'C'与CD交于点E,连接AE,如图,

∵四边形ABCD为正方形,且边长为1,
∴AB = AD = 1,∠B = ∠D = ∠BAD = 90°,
由旋转的性质得∠BAB' = 30°,AB = AB' = 1,∠B = ∠B' = 90°,
∴∠B'AD = ∠BAD - ∠BAB' = 90° - 30° = 60°,AB' = AD,
在Rt△AB'E和Rt△ADE中,
$\begin{cases}AE = AE\\AB' = AD\end{cases}$,
∴Rt△AB'E≌Rt△ADE(HL),
∴B'E = DE,∠B'AE = ∠DAE=$\frac{1}{2}$∠B'AD = 30°,
∴“蝶形风筝”的周长 = 2(AD + DE),
在Rt△ADE中,∠DAE = 30°,AD = 1,
∴AE = 2DE,
由勾股定理得AE² - DE² = AD²,
即(2DE)² - DE² = 1,
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴“蝶形风筝”的周长 = 2×$(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}$.

6. (2024北京首师大附中朝阳分校期中)如图，四边形ABCD是正方形，点E为正方形ABCD内一点，将BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，连接EF、AE、CF，EF与CB交于点G。
(1)求证：AE = CF。
(2)若∠ABE = 55°，求∠EGC的大小。
　　　　　　　　　　　　

答案： 解析
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB = BC,∠ABC = 90°.
∵BE绕点B顺时针旋转90°得到BF,
∴BE = BF,∠EBF = 90°.
∵∠ABE + ∠EBG = 90°,∠CBF + ∠EBG = 90°,
∴∠ABE = ∠CBF.
在△ABE和△CBF中,$\begin{cases}AB = CB\\\angle ABE = \angle CBF\\BE = BF\end{cases}$,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴AE = CF.
(2)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC = 90°.
∵∠ABE = 55°,
∴∠EBG = 90° - 55° = 35°,
∵BE = BF,∠EBF = 90°,
∴∠BEG = ∠BFG = 45°,
∴∠EGC = ∠EBG + ∠BEG = 35° + 45° = 80°.