《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

16.推理能力 (2022北京鲁迅中学期中)如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,
求证:EF = $\frac{1}{2}$(AC - AB).
　　　　　　　　　　
(2)如图2,写出线段AB、AC、EF的数量关系,并证明你的结论.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解析
(1)证明:
∵AE⊥BE,AE平分∠BAC,
∴△ABD是等腰三角形,
∴AB = AD,BE = DE,
∴E为BD中点,
∵F为BC中点,
∴EF = $\frac{1}{2}$DC = $\frac{1}{2}$(AC - AD)= $\frac{1}{2}$(AC - AB).
(2)EF = $\frac{1}{2}$(AB - AC),
证明:如图,延长AC交BE的延长线于点P.

∵AE⊥BE,AE平分∠BAC,
∴△ABP是等腰三角形,
∴AB = AP,BE = PE,
∴E为BP中点,
∵F为BC中点,
∴EF = $\frac{1}{2}$PC = $\frac{1}{2}$(AP - AC)= $\frac{1}{2}$(AB - AC).

例 (2024四川凉山州中考)如图,四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H,若对角线AC = 24,BD = 18,则四边形EFGH的周长是________.
　　　　　　　

答案： 答案 42
解析
∵四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H,
∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线,
∴EF = GH = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×24 = 12,FG = HE = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×18 = 9,
∴四边形EFGH的周长为12 + 12 + 9 + 9 = 42.

变式
1.(2024宁夏银川三中期末)如图,在矩形ABCD中,E、F、G、H分别是四条边的中点,HF = 2,EG = 4,则四边形EFGH的面积为________.
　　　　　　　　

答案： 答案 4
解析
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB = CD,AD = BC,∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
∵E、F、G、H分别是四条边的中点,
∴AE = DG = BE = CG,AH = DH = BF = CF,
∴△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF(SAS),
∴EH = GH = EF = FG,
∴四边形EFGH是菱形,
∵HF = 2,EG = 4,
∴四边形EFGH的面积为$\frac{1}{2}$HF·EG = $\frac{1}{2}$×2×4 = 4.

2.如图,在四边形ABCD中,AD = BC,P是对角线BD的中点,Q是对角线AC的中点,M是DC的中点,N是AB的中点.若AD = BC = 4,且∠DAB + ∠ABC = 90°,则四边形PMQN的面积为________.
　　　　　　　　

答案： 答案 4
解析
∵P、Q、M、N分别是BD、AC、DC、AB的中点,
∴PN = MQ = $\frac{1}{2}$AD,PM = QN = $\frac{1}{2}$BC,PN//AD,QN//BC,
∴∠BNP = ∠DAB,∠ANQ = ∠ABC,
∵AD = BC = 4,
∴PN = MQ = PM = QN = 2,
∴四边形PQM是菱形,
∵∠DAB + ∠ABC = 90°,
∴∠BNP + ∠ANQ = 90°,
∴∠PNQ = 90°,
∴四边形PQM是正方形,
∴S正方形PMQN = 2×2 = 4.故答案为4.