《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

19.(2023北京通州期中)(8分)定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB + ∠CPD = 180°，则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”.
(1)如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，若∠APD = 60°，则∠BPC = _______.
(2)如图2，点P是菱形ABCD对角线BD上的任意一点(不与点B，D重合)，求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”.

答案：
解析　
(1)
∵点P为四边形ABCD的一个“互补点”，$\angle APD = 60^{\circ}$，
　
∴$\angle BPC = 360^{\circ}-180^{\circ}-\angle APD = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，即$\angle BPC = 120^{\circ}$.
(2)证明：如图，连接AP、CP，
　　　　　　　
　
∵四边形ABCD是菱形，
　
∴$AD = CD$，$\angle ADP=\angle CDP$.
　　　　　　　　　　　　在$\triangle ADP$与$\triangle CDP$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADP=\angle CDP\\PD = PD\end{cases}$，
　
　
　
　
　
　
∴$\triangle ADP\cong\triangle CDP(SAS)$，
　
　
　
　
　
　
∴$\angle APD=\angle CPD$.
　　　　　　　　　　　　又$\angle APB+\angle APD = 180^{\circ}$，
　
　
　
　
　
　
∴$\angle APB+\angle CPD = 180^{\circ}$，
　
　
　
　
　
　
∴点P为菱形ABCD的一个“互补点”.

20. 整体思想 (2024北京延庆期末)(10分)如图，点E是正方形ABCD内部一点，BE = BA，连接AE，CE，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F.
(1)依题意补全图形，并求∠CEF的度数.
(2)连接DF，用等式表示线段AF，DF，CF之间的数量关系，并说明理由.

答案：
解析　
(1)补全图形如图，
　　　　　　　　
　
∵四边形ABCD是正方形，
　
∴$AB = BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，
　
∵$BE = BA$，
∴$AB = BE = BC$，
　
∴设$\angle BAE=\angle BEA = x$，$\angle BEC=\angle BCE = y$，
　
∵四边形ABCE的内角和为$360^{\circ}$，
　
∴$2x + 2y+90^{\circ}=360^{\circ}$，
∴$x + y = 135^{\circ}$，
　
∴$\angle AEC = 135^{\circ}$，
　
∴$\angle CEF = 180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$.
(2)$AF=\sqrt{2}DF + CF$.理由：如图，过点D作$DH\perp DF$，交AF于点H.
　　　　　　　
　
∵$\angle ADH = 90^{\circ}-\angle HDC$，$\angle CDF = 90^{\circ}-\angle HDC$，
　
∴$\angle ADH=\angle CDF$，
　
∵$\angle EFC = 90^{\circ}$，$\angle CEF = 45^{\circ}$，
∴$\angle FCE = 45^{\circ}$，
　
∴$\triangle EFC$是等腰直角三角形，$EF = FC$.
　　设$\angle BAE=\angle BEA = m$，$\angle BEC=\angle BCE = n$，
　
∵$\angle DAB=\angle DCB = 90^{\circ}$，
　
∴$\angle DAH = 90^{\circ}-m$，$\angle DCE = 90^{\circ}-n$，
　
∴$\angle FCD = 45^{\circ}-(90^{\circ}-n)=n - 45^{\circ}$，
　
∵$m + n = 135^{\circ}$，
∴$n = 135^{\circ}-m$，
∴$\angle FCD = 90^{\circ}-m$，
　
∴$\angle DAH=\angle DCF$，
　　在$\triangle DAH$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}\angle DAH=\angle DCF\\AD = DC\\\angle ADH=\angle FDC\end{cases}$，
　
∴$\triangle DAH\cong\triangle DCF(ASA)$，
　
∴$AH = CF$，$DH = DF$.
　
∴$\triangle DHF$是等腰直角三角形.
∴$HF=\sqrt{2}DF$，
　
∵$AF = HF+AH$，
　
∴$AF=\sqrt{2}DF + CF$.