《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

5.(2024内蒙古通辽中考,10,★★☆)如图,小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍,其面积为15 m²,在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成),则BC的长为 ( )

A.5 m或6 m
B.2.5 m或3 m
C.5 m
D.3 m

答案： C 设BC的长为x m，则AB的长为$\frac{1}{2}$(10 + 1 - x)m，根据题意得$\frac{1}{2}$(10 + 1 - x)x = 15，解得x = 5或x = 6＞5.5(舍去)，
∴BC的长为5 m，故选C.

6.(2024山东济南稼轩学校月考,13,★★☆)某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑如图所示的宽度相等的路,余下部分做绿化,绿化的面积为540 m²,则道路的宽为______m.

答案： 答案 2 解析 设道路的宽为x m，则有(32 - x)(20 - x)=540，解得x₁ = 2，x₂ = 50(舍去)，故道路的宽为2 m.

7.(2024山西大同月考,22,★★☆)综合与实践
如图,在△ABC中,∠B = 90°,点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果P、Q两点分别从A、B同时出发,当Q运动到点C时同时停止移动.
(1)经过几秒钟,PQ = 3$\sqrt{5}$ cm?
(2)经过几秒钟,△PBQ的面积等于8 cm²?
(3)△PBQ的面积能等于△ABC面积的一半吗? 请说明理由.

答案： 解析 设运动的时间为t s，由题意得AP = t cm，BQ = 2t cm，则BP = (6 - t)cm.
(1)在Rt△PBQ中，由勾股定理得BP² + BQ² = PQ²，即(6 - t)² + (2t)² = (3$\sqrt{5}$)²，整理得5t² - 12t - 9 = 0，解得t₁ = 3，t₂ = -$\frac{3}{5}$(不符合题意，舍去)，
∴t = 3.
∴经过3秒钟，PQ = 3$\sqrt{5}$ cm.
(2)由题意得$\frac{1}{2}$BP·BQ = 8，即$\frac{1}{2}$(6 - t)·2t = 8，整理得t² - 6t + 8 = 0，解得t₁ = 2，t₂ = 4，
∴经过2秒钟或4秒钟，△PBQ的面积等于8 cm².
(3)△PBQ的面积不能等于△ABC面积的一半，理由：由题意得$\frac{1}{2}$BP·BQ = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB·BC，
∴$\frac{1}{2}$(6 - t)·2t = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×6×8，整理得t² - 6t + 12 = 0，
∵Δ = (-6)² - 4×1×12 = 36 - 48 = -12＜0，
∴原方程无实数根，
∴△PBQ的面积不能等于△ABC面积的一半.

8.模型观念(2024安徽阜阳阜南期末)如图,学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用墙长为60 m),其他的边用总长70 m的不锈钢栅栏围成,左右两侧各开一个1 m的出口.
(1)若设车棚宽度AB为x m,则车棚长度BC为______m.
(2)若车棚面积为285 m²,试求出自行车车棚的长和宽.
(3)学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建,请问能围成面积为450 m²的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.

答案： 解析
(1)由题意可知BC = 70 - 2(x - 1)-x = (72 - 3x)m.
(2)由题意得x(72 - 3x)=285，整理得x² - 24x + 95 = 0，解得x₁ = 5，x₂ = 19(不符合题意，舍去)，
∴72 - 3x = 72 - 3×5 = 57.答：自行车车棚的长为57 m，宽为5 m.
(3)不能围成面积为450 m²的自行车车棚，理由：由题意得x(72 - 3x)=450，整理得x² - 24x + 150 = 0，
∵Δ = (-24)² - 4×1×150 = -24＜0，
∴原方程无实数根，
∴不能围成面积为450 m²的自行车车棚.