《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

9.(2023北京东城期末,6,★☆☆)在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A.1：2：3：4
B.1：2：2：1
C.1：2：1：2
D.1：1：2：2

答案：
如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A = ∠C，∠B = ∠D，故选C.

10.(2024北京石景山期末,7,★☆☆)在□ABCD中，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，分别交AD于点E，F.若AB=3，BC=5，则EF的长为（ ）

A.0.5
B.1
C.1.5
D.2

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB = 3，AD = BC = 5，AD//BC，
∴∠AEB = ∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠EBC，
∴∠ABE = ∠AEB，
∴AE = AB = 3，
同理可得DF = CD = 3，
∴EF = AE + FD - AD = 3 + 3 - 5 = 1.

11.(2024北师大附属实验中学模拟,7,★☆☆)如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB=√3，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）

A.√$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.√$\frac{21}{7}$
D.2√$\frac{21}{7}$    

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC = 2，BD = 4，
∴AO = $\frac{1}{2}$AC = 1，BO = $\frac{1}{2}$BD = 2，
∵AB = $\sqrt{3}$，
∴$AB^{2}+AO^{2}=BO^{2}$，
∴∠BAC = 90°，
在Rt△BAC中，BC = $\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=\sqrt{7}$，
∵$S_{△BAC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AE$，
∴AE = $\frac{\sqrt{3}\times2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$.

12.(2024广东广州中考,13,★☆☆)如图，□ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE=________.(M8215002)

答案： 答案 5
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD = BC = 2，
∴∠EAB = ∠CBA，
∵BA平分∠EBC，
∴∠EBA = ∠CBA，
∴∠EAB = ∠EBA，
∴AE = BE = 3，
∴DE = AD + AE = 2 + 3 = 5.

13.转化思想 (2024北师大附中期中,11,★☆☆)如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F.若□ABCD的面积为80，则图中阴影部分的面积为________.

答案： 答案 40
解析
∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，易得△AEO≌△CFO，
∴$S_{△AEO}=S_{△CFO}$，
∴阴影部分面积等于△ABD的面积，即▱ABCD面积的一半，
∴阴影部分面积为$\frac{1}{2}\times80 = 40$.

14.(2024江西南昌三中教育集团期中,10,★☆☆)如图，AB//CD，AD//BC，AD=5，BE=8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为________.

答案：
答案 20
解析 如图，过点D作DG⊥BE于点G，过点A作AH⊥BC于点H，

∵AD//BC，
∴AH = DG，
又
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC = AD = 5，
∵BE = 8，
∴CE = 8 - 5 = 3，
∵△DCE的面积 = $\frac{1}{2}CE\cdot DG = 6$，
∴DG = 4，
∴AH = DG = 4，
∴四边形ABCD的面积 = BC·AH = 20.

15.易错题 (2023上海虹口期末,15,★☆☆)如图，已知AB//CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1.5，则直线AB、CD间的距离等于________.

答案：
答案 3
解析 如图，过点O作OM⊥AB于点M，延长MO交CD于点N，则直线AB、CD间的距离等于MN的长，

∵AB//CD，
∴ON⊥CD，
∵AO平分∠MAC，OE⊥AC，OM⊥AB，
∴OM = OE，
∵CO平分∠ACD，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴OE = ON，
∴OM = ON，
∵OE = 1.5，
∴MN = OM + ON = 1.5 + 1.5 = 3.

16.(2024北京西城八中月考,16,★☆☆)在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AE为边BC上的高，AE=3√3，CE=2，则平行四边形ABCD的周长为________.

答案：
答案 14或22
解析 当E在BC上时，如图，连接AC，

∵AE为边BC上的高，
∴∠AEB = 90°，
∵在Rt△AEB中，∠ABC = 60°，AE = $3\sqrt{3}$，
∴∠BAE = 30°，
∴易得AB = 6，BE = $\frac{1}{2}AB = 3$，
∵CE = 2，
∴BC = BE + CE = 3 + 2 = 5，
∴平行四边形ABCD的周长 = 2(AB + BC) = 2×(6 + 5) = 22;
当E在BC延长线上时，如图，

同理AB = 6，BE = 3，
∴BC = BE - CE = 3 - 2 = 1，
∴平行四边形ABCD的周长 = 2(AB + BC) = 2×(6 + 1) = 14.
综上，平行四边形ABCD的周长为14或22.

17.(2024四川广安中考,15,★☆☆)如图，在□ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为________.

答案：
答案 $\sqrt{41}$
解析 如图，作A关于直线BC的对称点$A'$，连接$A'D$交BC于$M'$，连接$AA'$交BC于H，连接$AM'$，

则AH = $A'H$，AH⊥BC，AM' = $A'M'$，
∴当M与$M'$重合时，MA + MD最小，最小值为$A'D$的长度，
∵AB = 4，∠ABC = 30°，
∴AH = $\frac{1}{2}AB = 2$，
∴$AA' = 2AH = 4$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵AH⊥BC，
∴$AA'⊥AD$，
∵AD = 5，
∴$A'D=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}$，
∴MA + MD的最小值为$\sqrt{41}$.

18.(2024湖北中考,17,★☆☆)如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，AE=CF.求证：BE=DF.

答案： 证明
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB = DC，
∴∠BAE = ∠DCF.
在△AEB和△CFD中，
$\begin{cases}AB = CD,\\∠BAE = ∠DCF,\\AE = CF,\end{cases}$
∴△AEB≌△CFD(SAS)，
∴BE = DF.