《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

17. (2024北京顺义牛栏山一中实验学校月考,8,)关于x的方程a(x + m)² + b = 0的解是x₁ = -3，x₂ = 2(a，m，b均为常数，a ≠ 0)，则方程a(x + m + 2)² + b = 0的解是 ( )
A. x₁ = -3，x₂ = 2
B. x₁ = -5，x₂ = 0
C. x₁ = -1，x₂ = -4
D. 无法求解

答案：
∵ 关于x的方程a(x + m)² + b = 0的解是x₁ = -3，x₂ = 2(a，m，b均为常数，a≠0)，
∴ 方程a(x + m + 2)² + b = 0变形为a[(x + 2) + m]² + b = 0，即此方程中x + 2 = -3或x + 2 = 2，解得x = -5或x = 0.
故方程a(x + m + 2)² + b = 0的解为x₁ = -5，x₂ = 0.故选B.

18. (2024北京石景山期末,15,)要在一块长12m，宽8m的矩形空地中，修建两条形状为平行四边形的甬道(其中一条甬道形状为矩形)，剩余部分种蔬菜，且菜地的面积为77m²，若设两条甬道的入口宽EF = GH = xm，则根据题意列出的方程可以为________________。

答案： 答案 (12 - x)(8 - x) = 77

19. (2024四川南充中考,14,)已知m是方程x² + 4x - 1 = 0的一个根，则(m + 5)(m - 1)的值为________。

答案： 答案 -4
解析
∵ m是方程x² + 4x - 1 = 0的一个根，
∴ m² + 4m = 1，
∴ (m + 5)(m - 1) = m² + 4m - 5 = 1 - 5 = -4.

20. (2024北京石景山京源学校模拟,15,)若关于x的一元二次方程(a - 1)x² + a²x - a = 0有一个根是x = 1，则a =________。

答案： 答案 -1
解析 把x = 1代入方程(a - 1)x² + a²x - a = 0得a - 1 + a² - a = 0，所以a² - 1 = 0，所以a = 1或-1，因为a - 1≠0，所以a的值为-1.

21. (2024山东青岛市北期中,11,)生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是__________，化为一般形式为____________。

答案： 答案 x(x - 1) = 182；x² - x - 182 = 0
解析 由题意可列方程为x(x - 1) = 182，
化为一般形式为x² - x - 182 = 0.

22. (2024北京交大附中第二分校模拟,18,)已知m是方程x² - 4x + 1 = 0的根，求代数式(1 - (4m + 3)/m²)÷2/m²的值。

答案： 解析 把x = m代入方程x² - 4x + 1 = 0，得m² - 4m = -1，
∴ (1 - (4m + 3)/m²)÷2/m² = ((m² - 4m - 3)/m²)·m²/2
= (m² - 4m - 3)/2
= (-1 - 3)/2 = -4/2 = -2.

23. 代数推理 运算能力 已知关于x的一元二次方程ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)。
(1) 若a + c = -b，求证：x = 1必是该方程的一个根。
(2) 当a，b，c之间的关系是________时，方程必有一根是x = -1。

答案： 解析
(1)证明：当a + c = -b时，原方程可变形为ax² - (a + c)x + c = 0(a≠0)，
将方程左边因式分解可得(x - 1)(ax - c) = 0，
∴ x - 1 = 0或ax - c = 0，
解得x₁ = 1，x₂ = c/a，
∴ x = 1必是该方程的一个根.
(2)
∵ 当x = -1时，有a - b + c = 0，
∴ 当a - b + c = 0时，方程必有一根是x = -1.

24. 运算能力 阅读下列材料：已知方程x² + x - 3 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y = 2x，所以x = y/2。
把x = y/2代入已知方程，得(y/2)² + y/2 - 3 = 0，
化简，得y² + 2y - 12 = 0，
故所求方程为y² + 2y - 12 = 0，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。
问题：已知方程x² + x - 1 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的3倍。

答案： 解析 设所求方程的根为m，则m = 3x，
所以x = m/3.
把x = m/3代入已知方程，得(m/3)² + m/3 - 1 = 0，
化简，得m² + 3m - 9 = 0，
故所求方程为m² + 3m - 9 = 0.