《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

1.（2024北京交大附中期中）在平面直角坐标系xOy中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有如下四个结论：
①第二象限内有无数个“2和点”；
②第一、三象限的角平分线上的“3和点”有两个；
③y轴上没有“5和点”；
④若第三象限内没有“k和点”，则k≥0.
其中正确的结论序号是________.

答案： ①④

2.（2024北京十三中期中）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x,y)，给出如下定义：记a=x+y，b=-x+y，将点M(a,b)与点N(b,a)称为点P的一对伴随点.例如，点M(1,-5)与点N(-5,1)为点P(3,-2)的一对伴随点.
（1）点A(4,1)的一对伴随点的坐标为____________________.
（2）将点C(3m - 1,m + 1)(m＞0)向左平移m个单位长度，得到点C'，若点C'的一对伴随点重合，求点C的坐标.
（3）已知点E(-3,n)，F(-3,n + 1)，点D为线段EF上的动点，点G，H为点D的一对伴随点.当点D在线段EF上运动时，线段GH与x轴总有公共点，请直接写出n的取值范围：____________.

答案：
(1)由题意得a=x+y=4+1=5，b=-x+y=-4+1=-3，
∴点A的一对伴随点的坐标为(5,-3)，(-3,5).
(2)由题意得C'(2m-1,m+1)，
∴a=2m-1+m+1=3m，b=-2m+1+m+1=-m+2，
∴点C'的一对伴随点的坐标为(3m,-m+2)和(-m+2,3m)，
∵点C'的一对伴随点重合，
∴3m=-m+2，解得m=$\frac{1}{2}$，
∴3m-1=$\frac{1}{2}$，m+1=$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$).
(3)-3≤n≤2.详解：
∵D为线段EF上的动点，
∴设D点坐标为(-3,t)(n≤t≤n+1)，
∴a=-3+t，b=3+t，
∴可令G(-3+t,3+t)，H(3+t,-3+t)，
∵线段GH与x轴总有公共点，t+3＞t-3，
∴$\begin{cases}t+3≥0 \\ t-3≤0\end{cases}$，解得-3≤t≤3，由n≤t≤n+1可得$\begin{cases}n≥-3 \\ n+1≤3\end{cases}$，解得-3≤n≤2，
∴n的取值范围为-3≤n≤2.

3.（2024北京通州期中）对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d(T,W).例如，如图①，点P(1,2)与x轴之间的“关联距离”d(P,x轴)=2.
（1）如图②，已知点P(1,2)和点A(-4,0)，则d(P,线段OA)=________.
（2）如图③，已知点B(0,3)，C(-3,0)，D(3,0)，点Q是y轴正半轴上一点，若d(Q,△BCD)=1，求点Q的坐标.
（3）已知E(t,1)，F(t + 2,3)，当 - 4≤t≤1时，对于每一个t的值，若线段EF和一次函数y=kx - 2(k是常数，k≠0)的图象之间的“关联距离”d(EF,直线y=kx - 2)＞0，请直接写出k的取值范围.

答案：
(1)
∵点P(1,2)，
∴点P到线段OA的最小距离为OP的长度，
∵OP=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，
∴d(P,线段OA)=$\sqrt{5}$.
(2)当Q在点B上方时，
∵d(Q,△BCD)=1，
∴BQ=1，
∵B的坐标是(0,3)，
∴Q的坐标是(0,4).当Q到边CD的距离最近时，
∵d(Q,△BCD)=1，
∴OQ=1，
∴Q(0,1).当Q到边BC或BD的距离最近时，过Q作QH⊥BD于H，如图，
∵d(Q,△BCD)=1，
∴QH=1，
∵OB=OD=3，
∴∠QBH=45°，
∴BQ=$\sqrt{2}$QH=$\sqrt{2}$，
∴OQ=3-$\sqrt{2}$，
∴Q(0,3-$\sqrt{2}$).综上，Q的坐标为(0,4)或(0,3-$\sqrt{2}$)或(0,1).
(3)-$\frac{3}{4}$＜k＜$\frac{5}{3}$，且k≠0.详解：如图，当t=-4时，E(-4,1)，F(-2,3)，当t=1时，E'(1,1)，F'(3,3).把E(-4,1)代入y=kx-2，得k=-$\frac{3}{4}$；把F'(3,3)代入y=kx-2，得k=$\frac{5}{3}$.
∵“关联距离”d(EF,直线y=kx-2)＞0，
∴四边形EFF'E'与直线y=kx-2无公共点，
∴-$\frac{3}{4}$＜k＜$\frac{5}{3}$，且k≠0.