《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

1.（2024北京一七一中学期中）已知一次函数的图象经过(1,0)和(-2,6)两点.
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)在下面的坐标系中画出该一次函数的图象,并求这个一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积.
　　　　

答案：
解析
(1)设此函数的表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，
∵一次函数的图象经过$(1,0)$和$(-2,6)$两点，
∴$\begin{cases}k + b = 0,\\-2k + b = 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -2,\\b = 2,\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y = -2x + 2$.
(2)函数图象如图，由图可知，函数图象与$x$轴的交点为$(1,0)$，与$y$轴的交点为$(0,2)$，

∴这个一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积$=\frac{1}{2}\times1\times2 = 1$.

2.（2024北京四中期中）直线$y_1=-x+5$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,与直线$y_2=2x-4$交于点$C$.
(1)求交点$C$的坐标.
(2)直接写出当$x$取何值时$y_1＜y_2$.
(3)在$y$轴上取点$P$使得$OP = 2OB$,直接写出$\triangle ABP$的面积.

答案：
解析
(1)联立方程组可得$\begin{cases}y = -x + 5,\\y = 2x - 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 2,\end{cases}$
∴$C(3,2)$.
(2)如图，当$y_1\lt y_2$时，$y_1$的图象在$y_2$图象的下方，结合函数图象可得$x\gt3$.

(3)
∵直线$y_1 = -x + 5$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，
∴$B(0,5)$，$A(5,0)$，
∴$OB = 5$，
∵$OP = 2OB$，
∴$OP = 10$，
∴点$P$的坐标为$(0,10)$或$(0,-10)$，
∴$BP = 5$或$15$，
∴$\triangle ABP$的面积$=\frac{1}{2}\times5\times5=\frac{25}{2}$或$\frac{1}{2}\times5\times15=\frac{75}{2}$.

3.（2023北京朝阳期末）在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(x,y)$在第二象限,且满足$\frac{1}{2}x + y = 4$,点$B(8,0)$,若$\triangle OAB$的面积为20,则点$A$的坐标为_______.

答案： 答案$(-2,5)$
解析
∵点$A(x,y)$在第二象限，且满足$\frac{1}{2}x + y = 4$，
点$B(8,0)$，
∴$A(x,-\frac{1}{2}x + 4)$，$OB = 8$，
∵$\triangle OAB$的面积为$20$，
∴$\frac{1}{2}\times8(-\frac{1}{2}x + 4)=20$，解得$x = -2$，
∴点$A$的坐标为$(-2,5)$.

4.（2024北京西城育才学校期中）在平面直角坐标系$xOy$中,$A(-1,4)$,$B(3,0)$,$C(-2,0)$.
(1)求直线$AB$所对应的函数表达式,并在下面的坐标系中画出直线$AB$.
(2)直接写出$\angle OBA$的度数为_______$^{\circ}$.
(3)若点$P$是直线$AB$上一点,当$\triangle BCP$的面积为5时,求点$P$的坐标.
　　　　　　　　　

答案：
解析
(1)设直线$AB$的表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，
把$A(-1,4)$，$B(3,0)$代入得$\begin{cases}-k + b = 4,\\3k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1,\\b = 3,\end{cases}$
∴直线$AB$的表达式为$y = -x + 3$.
函数图象如图.

(2)当$x = 0$时，$y = -x + 3 = 3$，
∴直线$AB$与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$，
∴$\angle OBA = 45^{\circ}$.
(3)设$P(t,-t + 3)$，
∵$\triangle BCP$的面积为$5$，
∴$\frac{1}{2}\times(3 + 2)\cdot|-t + 3| = 5$，解得$t = 1$或$t = 5$.
∴$P$点坐标为$(1,2)$或$(5,-2)$.