《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

13. (2024北京师大亚太实验学校期中,15,★☆☆)如图,在矩形ABCD中,AD = 3,CD = 4,点P是AC上一个动点(点P与点A,C不重合),过点P分别作PE⊥BC于点E,PF//BC交AB于点F,连接EF,则EF的最小值为________.

答案： 答案 $\frac{12}{5}$
解析 如图，连接BP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC = ∠D = 90°，
∵AD = 3，CD = 4，
∴AC = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5，
∵PE⊥BC，PF//BC，
∴PF⊥AB，又
∵∠ABC = 90°，
∴四边形PEBF是矩形，
∴EF = BP，
∴当BP⊥AC时，线段BP最短，即线段EF的值最小，
∴BP的最小值 = $\frac{\frac{1}{2}BC·AB}{\frac{1}{2}AC}$ = $\frac{12}{5}$.
∴EF的最小值为$\frac{12}{5}$.

14. (2024北京顺义期末,25,★☆☆)如图,在四边形ABCD中,AB//DC,AC⊥BD于点O,O为AC中点.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)延长AB到点E,使得BE = AB,连接CE.若AC = 8,BC = 5,求CE的长.

答案： 解析
(1)证明：
∵AB//DC，
∴∠OAB = ∠OCD，∠OBA = ∠ODC，
∵O为AC中点，
∴OA = OC，
在△ABO和△CDO中，$\begin{cases}∠OAB = ∠OCD,\\∠OBA = ∠ODC,\\OA = OC,\end{cases}$
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴OB = OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA = OC = $\frac{1}{2}$AC = 4，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
AB//CD，AB = CD，
在Rt△BCO中，OB = $\sqrt{BC^{2}-OC^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3，
∴BD = 2OB = 6，
∵BE = AB，
∴CD = BE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE = BD = 6.

15. (2023北京中考改编,20,★☆☆)如图,在□ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE = DF,AC = EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形.
(2)若AE = BE,AB = 2,$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$,求BC的长.

答案： 解析
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AD//BC，
∵BE = DF，
∴BC - BE = AD - DF，即EC = AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC = EF，
∴平行四边形AECF是矩形.
(2)
∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC = ∠AEB = 90°，
∵AE = BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE² + BE² = 2AE² = AB² = 4，
∴AE = $\sqrt{2}$ = BE，
∵$\frac{AE}{EC}$ = $\frac{1}{2}$，
∴EC = 2AE = 2$\sqrt{2}$，
∴BC = BE + EC = $\sqrt{2}$ + 2$\sqrt{2}$ = 3$\sqrt{2}$，即BC的长为3$\sqrt{2}$.

16. (2024江苏南京江宁竹山中学月考,24,★☆☆)如图,四边形AECF是菱形,对角线AC、EF交于点O,点D、B是对角线EF所在直线上两点,且DE = BF,连接AD、AB、CD、CB,∠ADO = 45°.(M8215003)
(1)求证:四边形ABCD是正方形.
(2)若正方形ABCD的面积为32,BF = 1,求点F到线段AE的距离.

答案： 解析
(1)证明：
∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA = OC，OE = OF，
∵DE = BF，
∴DO = BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ADO = 45°，
∴∠DAO = 90° - ∠ADO = 45°，
∴AO = DO，
∴AC = BD，
∴四边形ABCD是正方形.
(2)
∵正方形ABCD的面积为32，
∴$\frac{1}{2}$AC·BD = 32，
∴$\frac{1}{2}$×4BO² = 32，
∴BO = DO = CO = AO = 4，
∴AC = 2AO = 8，
∵BF = 1，
∴OF = BO - BF = 4 - 1 = 3，
∵四边形AFCE是菱形，
∴EF = 2OF = 6，AC⊥EF，
∴菱形AFCE的面积 = $\frac{1}{2}$AC·EF = $\frac{1}{2}$×8×6 = 24，
在Rt△AOE中，AE = $\sqrt{AO^{2}+OE^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ = 5，
设点F到线段AE的距离为h，
∴菱形AFCE的面积 = AE·h = 24，
即5h = 24，
∴h = $\frac{24}{5}$，
∴即点F到线段AE的距离为$\frac{24}{5}$.