《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

7. (教材变式·P72T1)(2024北京八十中期中)已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB = BC,②∠ABC = 90°,③AC = BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中不正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ②④

答案： B 由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以①②可得到平行四边形ABCD是正方形，故A选项不符合题意；②③不能得到平行四边形ABCD是正方形，故B选项符合题意；①③可以得到平行四边形ABCD是正方形，故C选项不符合题意；②④可以得到平行四边形ABCD是正方形，故D选项不符合题意. 故选B.

8. (新考向·尺规作图)(2023湖北十堰中考)如图,□ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B、C为圆心,$\frac{1}{2}AC$、$\frac{1}{2}BD$长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由.
(2)请说明当□ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形.

答案： 解析
(1)四边形BPCO为平行四边形.
理由：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC = OA = $\frac{1}{2}$AC，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD，
∵以点B、C为圆心，$\frac{1}{2}$AC、$\frac{1}{2}$BD长为半径画弧，两弧交于点P，
∴BP = OC，OB = CP，
∴四边形BPCO为平行四边形.
(2)当AC⊥BD，AC = BD时，四边形BPCO为正方形.
证明：
∵AC⊥BD，
∴∠BOC = 90°，
∵AC = BD，OB = $\frac{1}{2}$BD，OC = $\frac{1}{2}$AC，
∴OB = OC，
∵四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为正方形.

9. (2023河北衡水冀州中学模拟,10,★☆☆)如图,平行四边形ABCD中,∠A = 110°,AD = DC,E,F分别是边AB,BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠PEF = ( )

A. 35°
B. 45°
C. 50°
D. 55°

答案： A
∵平行四边形ABCD中，AD = DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB = BC，∠ABC = 180° - ∠A = 70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE = BF，
∴∠BEF = ∠BFE = 55°，
∵EP⊥CD，AB//CD，
∴PE⊥AB，
∴∠PEB = 90°，
∴∠PEF = 90° - 55° = 35°. 故选A.

10. (2024北京陈经纶中学期中,8,★☆☆)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P为边AD上一点,过P分别作PE⊥AC,PF⊥BD,垂足分别为点E,F,过A作AH⊥BD,垂足为点H,若知道△APE与△DPF的周长和,则一定能求出 ( )

A. △BOC的周长
B. △ADH的周长
C. △ABC的周长
D. 四边形APFH的周长

答案： B 如图，过点P作PG⊥AH于G，连接PO，
∵PF⊥BD，AH⊥BD，PG⊥AH，
∴四边形PFHG为矩形，
∴FH = PG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC = BD，
∴OA = OC = OB = OD，
∴∠OAD = ∠ODA，
∵∠BAH + ∠HAD = ∠HAD + ∠ADO = 90°，
∴∠BAH = ∠ADO，同理∠BAH = ∠APG，
∴∠APG = ∠EAP，
∵AP = PA，∠AEP = ∠AGP = 90°，
∴△APE≌△PAG(AAS)，
∴AE = PG，
∴AE = HF，
∵S△APO + S△PDO = S△AOD，
∴$\frac{1}{2}$AO·PE + $\frac{1}{2}$OD·PF = $\frac{1}{2}$OD·AH，
∴PE + PF = AH，
∴△APE与△DPF的周长和 = AP + PE + AE + PD + PF + DF = AD + AH + HF + DF = AD + AH + HD.
∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长. 故选B.

11. (2023北京八十中期中,8,★☆☆)把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称为这个图形的“等积线段”,菱形ABCD中,∠A = 60°,AB = 2,则菱形ABCD的“等积线段”长度a的取值范围是 ( )
A. 2≤a≤2$\sqrt{3}$
B. $\sqrt{3}$≤a≤4
C. $\sqrt{5}$≤a≤4
D. $\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$

答案： D 由“等积线段”的定义可知，当菱形的“等积线段”和任一边垂直时，a最小，如图，过点D作DN⊥AB于点N，
易知DN的长为a的最小值，
∵∠DAB = 60°，
∴∠ADN = 30°，
∵AD = 2，
∴AN = 1，
∴DN = $\sqrt{3}$，
∴a的最小值为$\sqrt{3}$.
当“等积线段”为菱形的对角线AC时，a最大，
∵∠DAB = 60°，AD = AB，
∴BD = AB = AD = 2，
∵BO = DO = 1，
∴根据勾股定理得，AO = $\sqrt{3}$，
∴AC = 2$\sqrt{3}$，
∴a的最大值为2$\sqrt{3}$，则a的取值范围是$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$. 故选D.

12. (方程思想)(2024广西中考,17,★☆☆)如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为________cm.

答案： 答案 8$\sqrt{3}$
解析 根据题意可得四边形ABCD为平行四边形，根据两张纸条宽度均为3 cm可得平行四边形ABCD的四条边都相等，所以平行四边形ABCD为菱形. 如图，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
由题意可得∠CDE = 60°，
∴∠DCE = 90° - 60° = 30°，
∴CD = 2DE，
∵CE = 3 cm，
∴(2DE)² - DE² = 9，
∴DE = $\sqrt{3}$ cm，
∴CD = 2$\sqrt{3}$ cm，
∴四边形ABCD的周长为8$\sqrt{3}$ cm.