《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

5.（2024北京四中模拟）如图,直线$l_1:y = 2x$,直线$l_2:y=-x+m$与$x$轴交于点$A$,两直线$l_1$,$l_2$交于点$B$,点$B$的坐标为$(\frac{4}{3},n)$.
(1)求$m$,$n$的值.
(2)直线$l_2$上是否存在点$D$,使得$\triangle AOD$的面积为4？若存在,求出点$D$的坐标;若不存在,请说明理由.
　　　　　　　　　　　

答案： 解析
(1)
∵直线$l_1$过点$B(\frac{4}{3},n)$，
∴$n = 2\times\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，
∴$B(\frac{4}{3},\frac{8}{3})$.
∵直线$l_2$过点$B(\frac{4}{3},\frac{8}{3})$，
∴$-\frac{4}{3}+m=\frac{8}{3}$，
∴$m = 4$.
(2)存在.由
(1)可知直线$l_2$的表达式为$y = -x + 4$，
在$y = -x + 4$中，令$y = 0$，则$x = 4$，
∴$A(4,0)$，
∵点$D$在直线$l_2$上，
∴设$D(x,-x + 4)$，
∵$\triangle AOD$的面积为$4$，
∴$\frac{1}{2}OA\cdot|y_D| = 4$，
∴$\frac{1}{2}\times4|-x + 4| = 4$，解得$x = 2$或$x = 6$.
∴点$D$的坐标为$(2,2)$或$(6,-2)$.

6.（2024四川德阳期中）如图,已知正比例函数$y = kx$的图象经过点$A$,点$A$在第四象限,过点$A$作$AH\perp x$轴,垂足为$H$,点$A$的横坐标为6,且$\triangle AOH$的面积为12.
(1)求正比例函数的表达式.
(2)在$x$轴上能否找到一点$P$,使$\triangle AOP$的面积为10？若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
　　　　　　　　　　　　

答案： 解析
(1)
∵点$A$的横坐标为$6$，且$\triangle AOH$的面积为$12$，
∴$\frac{1}{2}\times6AH = 12$，解得$AH = 4$，
∴$A(6,-4)$，把$A(6,-4)$代入$y = kx$得$6k = -4$，
解得$k = -\frac{2}{3}$，
∴正比例函数的表达式为$y = -\frac{2}{3}x$.
(2)存在.设$P(t,0)$，
∵$\triangle AOP$的面积为$10$，
∴$\frac{1}{2}\times4|t| = 10$，
∴$t = 5$或$t = -5$，
∴点$P$坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$.

7.（2024陕西西安雁塔月考）如图,在平面直角坐标系中,直线$y = 2x + 4$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,过点$B$的直线交$x$轴正半轴于点$C$,且$\triangle ABC$的面积为10.
(1)求点$C$的坐标及直线$BC$的表达式.
(2)若$M$为线段$BC$上一点,且满足$S_{\triangle AMB}=S_{\triangle AOB}$,求直线$AM$的表达式.

答案： 解析
(1)对于$y = 2x + 4$，令$x = 0$得$y = 4$，令$y = 0$得$x = -2$，
∴$A(-2,0)$，$B(0,4)$，
∵$\triangle ABC$的面积为$10$，
∴$\frac{1}{2}AC\cdot OB = 10$，即$\frac{1}{2}AC\times4 = 10$，
∴$AC = 5$，
∵$-2 + 5 = 3$，
∴点$C$的坐标为$(3,0)$，
设直线$BC$的表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，
把$B(0,4)$，$C(3,0)$代入得$\begin{cases}b = 4,\\3k + b = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -\frac{4}{3},\\b = 4,\end{cases}$
∴直线$BC$的表达式为$y = -\frac{4}{3}x + 4$.
(2)
∵$A(-2,0)$，$B(0,4)$，
∴$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times2\times4 = 4$，
∵$S_{\triangle AMB}=S_{\triangle AOB}$，
∴$S_{\triangle AMB}= 4$，
∵$\triangle ABC$的面积为$10$，
∴$S_{\triangle ACM}=10 - 4 = 6$，
∴$\frac{1}{2}AC\cdot y_M = 6$，即$\frac{1}{2}\times5\cdot y_M = 6$，
∴$y_M=\frac{12}{5}$，
对于$y = -\frac{4}{3}x + 4$，令$y=\frac{12}{5}$，得$\frac{12}{5}=-\frac{4}{3}x + 4$，
解得$x=\frac{6}{5}$，
∴$M(\frac{6}{5},\frac{12}{5})$，
设直线$AM$的表达式为$y = k'x + b'(k'\neq0)$，
∴$\begin{cases}-2k'+b' = 0,\\\frac{6}{5}k'+b'=\frac{12}{5},\end{cases}$解得$\begin{cases}k'=\frac{3}{4},\\b'=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴直线$AM$的表达式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$.

8.（2024上海徐汇期末）在平面直角坐标系中,已知直线$y = kx - k(k＜0)$经过定点$P$.
(1)求点$P$的坐标.
(2)一次函数$y = -\frac{4}{3}x + 4$的图象分别与$x$轴、$y$轴交于点$B$,$C$(如图),如果直线$y = kx - k(k\neq0)$将$\triangle BOC$的面积平分,求$k$的值.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解析
(1)$y = kx - k = k(x - 1)$，
∴当$x = 1$时，$y = 0$，
∴点$P(1,0)$.
(2)在$y = -\frac{4}{3}x + 4$中，当$y = 0$时，$-\frac{4}{3}x + 4 = 0$，解得$x = 3$，
∴$B(3,0)$，当$x = 0$时，$y = 4$，
∴$C(0,4)$，
如图，设直线$y = kx - k$交$BC$于点$N$，交$y$轴于点$M$，

则$S_{\triangle PBN}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCO}$，
即$\frac{1}{2}\times2y_N=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times3\times4$，
∴$y_N = 3$，
在$y = -\frac{4}{3}x + 4$中，当$y = 3$时，$-\frac{4}{3}x + 4 = 3$，解得$x=\frac{3}{4}$，
∴点$N(\frac{3}{4},3)$，
将点$N$的坐标代入$y = kx - k$得$3 = k(\frac{3}{4}-1)$，
解得$k = -12$.