《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

15. [答案含评分细则](2024北京平谷期末)(6分)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BC至点E,使CE = CB,连接DE,且∠ECD = ∠ACD.(M8215003)
(1)求证:四边形ACED是菱形.
(2)连接AE,若AD = 5,AB = 2AE,求AE的长.

答案： 解析　
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD = BC,
∴∠ECD = ∠ADC,
∵CE = CB,
∴ CE = AD,
∴四边形ACED是平行四边形，　　　　　　　2分
∵∠ECD = ∠ACD,
∴∠ACD = ∠ADC,
∴AC = AD,
∴四边形ACED是菱形.　　　　　　　　　　　3分
(2)由
(1)得四边形ACED是菱形，
∴CE = AD = 5,AE⊥CD,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,BC = AD = 5,
∴AE⊥AB,
∵AD = BC = CE = 5,
∴BE = BC + CE = 10,　　　　　　　　　　　　　5分
设AE = x,则AB = 2x,
在Rt△EAB中,由勾股定理得x²+(2x)² = 10²,
解得x = 2$\sqrt{5}$(负值舍去),
∴AE = 2$\sqrt{5}$　　　　　　　　　　　　　　　　6分

16. [答案含评分细则](2024北京通州期末)(7分)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,AC、BD相交于点O,延长CD至点E,使DE = CD,连接AE.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形.
(2)连接BE,交AD于点F,连接OF,判断CE与OF的数量关系,并说明理由.

答案： 解析　
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB = CD,
∵CD = DE,
∴AB = DE,
∴四边形ABDE是平行四边形.　　　　　　　　3分
(2)CE = 4OF,理由如下:
由
(1)得四边形ABDE是平行四边形,
∴BF = EF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD,
∴OF是△BDE的中位线，　　　　　　　　　　5分
∴DE = 2OF,
∵CD = DE,
∴CE = 2DE,
∴CE = 4OF.　　　　　　　　　　　　　　　.7分

17. [答案含评分细则](2024北京四中期中)(7分)倡导垃圾分类,共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类,某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人,已知1台A型机器人每小时分拣垃圾0.4吨,1台B型机器人每小时分拣垃圾0.2吨.
(1)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人,这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设购买A型机器人a台(10≤a≤45),B型机器人b台,请用含a的代数式表示b.
(2)机器人公司的报价如表:

在(1)的条件下,设购买总费用为w万元,问如何购买使得总费用w最少?请说明理由.

答案： 解析　
(1)由题意得0.4a + 0.2b = 20.
∴b = 100 - 2a(10≤a≤45).　　　　　　　　　　2分
(2)①当10≤a＜30时,40＜b≤80,
则w = 20a + 0.8×12(100 - 2a)=0.8a + 960,
∵0.8＞0,
∴w随a的增大而增大,
∴当a = 10时,w有最小值,最小值为968;　.….3分
②当30≤a≤35时,30≤b≤40,
则w = 0.9×20a + 0.8×12(100 - 2a)= - 1.2a + 960,
∵ - 1.2＜0,
∴w随a的增大而减小，
∴当a = 35时,w有最小值,最小值为918;　.….4分
③当35＜a≤45时,10≤b＜30,
则w = 0.9×20a + 12(100 - 2a)= - 6a + 1200,
∵ - 6＜0,
∴w随a的增大而减小，
∴当a = 45时,w有最小值，最小值为930.……5分
∵918＜930＜968,
∴购买A型机器人35台，B型机器人30台时，总费用w最少.　　　　　　　　　　　　　　　　　7分