《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

14. (2023北京丰台二中期中,24,★★☆)如图，在△ABC中，AB = AC =√5，BC = 4，以AC为一边，在直线BC上方作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，连接AF，求AF的长。
　　　　　　　　　　　　

答案：
解析 如图，过A作AM⊥BC于M点，

∴∠AMC = 90°，
∵AB = AC = $\sqrt{5}$，BC = 4，
∴MC = 2，
∴AM = $\sqrt{AC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{5 - 4}=1$，
∵四边形ACDE为正方形，
∴AC = CD，∠ACD = 90°，
∴∠ACM+∠DCF = 90°，
∵DF⊥BF，
∴∠AMC = ∠DFC = 90°，∠DCF+∠CDF = 90°，
∴∠ACM = ∠CDF，
∴△ACM≌△CDF(AAS)，
∴CF = AM = 1，
∴FM = CF+CM = 3，
在Rt△AFM中，AF = $\sqrt{AM^{2}+FM^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.

15. 推理能力 如图，已知∠AOB及∠AOB内任意一射线OC。小明在OC上取一点P，过P作PD//OA交OB于D，取OP的中点E，连接DE并延长交OA于点F，连接PF。小明说四边形ODPF是平行四边形。
(1) 小明为什么说四边形ODPF是平行四边形？请你给出证明。
(2) 要使四边形ODPF是矩形，还需给出什么条件？并说明理由。
(3) 要使四边形ODPF是菱形，还需给出什么条件？并说明理由。
　　　　　　　　　　　

答案： 解析
(1)证明：
∵E为OP的中点，
∴OE = EP，
∵PD//OA，
∴∠PDE = ∠OFE，
在△PDE和△OFE中，$\begin{cases}\angle PDE=\angle OFE\\\angle DEP=\angle FEO\\PE = OE\end{cases}$，
∴△PDE≌△OFE(AAS)，
∴DE = EF，
在△OED和△PEF中，$\begin{cases}OE = PE\\\angle OED=\angle PEF\\DE = FE\end{cases}$，
∴△OED≌△PEF(SAS)，
∴∠DOE = ∠FPE，
∴OD//PF，
又
∵PD//OA，
∴四边形ODPF是平行四边形.
(2)(答案不唯一)∠AOB = 90°.
理由：
∵四边形ODPF是平行四边形，∠AOB = 90°，
∴平行四边形ODPF是矩形.
(3)(答案不唯一)OD = OF.
理由：
∵四边形ODPF是平行四边形，OD = OF，
∴平行四边形ODPF是菱形.