《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

10.(2023浙江杭州中考)设一元二次方程为$x^{2}+bx + c = 0$.在下面的四组条件中选择一组$b,c$的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①$b = 2,c = 1$;②$b = 3,c = 1$;③$b = 3,c = -1$;④$b = 2,c = 2$.

答案： 10解析
∵使这个方程有两个不相等的实数根,
∴b² - 4c＞0,即b²＞4c,
∴②③均可.选②,则这个方程为x² + 3x + 1 = 0,
∴x = $\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$,
∴x₁ = $\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$,x₂ = $\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$;
选③,则这个方程为x² + 3x - 1 = 0,
∴x₁ = $\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$,x₂ = $\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$.

11.(2024四川广安中考,7,★☆☆)若关于$x$的一元二次方程$(m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是 ( )
A.$m＜0$且$m\neq -1$
B.$m\geqslant0$
C.$m\leqslant0$且$m\neq -1$
D.$m＜0$

答案： 11A
∵关于x的一元二次方程(m + 1)x² - 2x + 1 = 0有两个不相等的实数根,
∴4 - 4(m + 1)＞0且m + 1≠0,
解得m＜0且m≠ - 1,
故选A.

12.新考向·新定义试题 (2023四川内江中考,11,★★☆)对于实数$a,b$定义运算“$\otimes$”为$a\otimes b = b^{2}-ab$,例如:$3\otimes2 = 2^{2}-3\times2 = -2$,则关于$x$的方程$(k - 3)\otimes x = k - 1$的根的情况,下列说法正确的是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： 12A
∵(k - 3)⊗x = k - 1,
∴x²-(k - 3)x = k - 1,
∴x²-(k - 3)x - k + 1 = 0,
∵Δ = [-(k - 3)]² - 4×1×(- k + 1)=(k - 1)² + 4＞0,
∴关于x的方程(k - 3)⊗x = k - 1有两个不相等的实数根.故选A.

13.(2024云南中考,16,★☆☆)若一元二次方程$x^{2}-2x + c = 0$无实数根,则实数$c$的取值范围为________.

答案： 13答案 c＞1
解析 因为一元二次方程x² - 2x + c = 0无实数根,所以Δ = (- 2)² - 4c＜0,解得c＞1.

14.新考向·开放型试题 (2022江苏扬州中考,12,★☆☆)请填写一个常数,使得关于$x$的方程$x^{2}-2x +$________ = 0有两个不相等的实数根.

答案： 14答案 0(答案不唯一)
解析 设这个常数为c,
∵Δ = (- 2)² - 4×1·c＞0,
∴c＜1.故可以填0(答案不唯一).

15.易错题 (2024北京东城景山学校期末,13,★★☆)若关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围是________________.

答案： 15答案 k＞- 1且k≠0
解析
∵关于x的一元二次方程kx² - 2x - 1 = 0有两个不相等的实数根,
∴Δ = b² - 4ac = (- 2)² - 4×k×(- 1)=4 + 4k＞0,
∴k＞- 1,
∵kx² - 2x - 1 = 0是关于x的一元二次方程,
∴k≠0,
∴k的取值范围是k＞- 1且k≠0.

16.(2024北京延庆期末,20,★★☆)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求实数$m$的取值范围.
(2)若$m$为满足条件的最大整数,求此时方程的根.

答案： 16解析
(1)
∵关于x的一元二次方程x² + 2x + m - 1 = 0有两个不相等的实数根,
∴Δ = b² - 4ac＞0,
∴2² - 4(m - 1)＞0,
解得m＜2.
(2)
∵m为满足条件的最大整数,m＜2,
∴m = 1,
∴原方程为x² + 2x = 0,
∴x(x + 2)=0,
∴x₁ = 0,x₂ = - 2.

17.(2023湖北荆州中考改编,18,★★☆)已知关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-(2k + 4)x + k - 6 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)当$k = 1$时,求方程的解.

答案： 17解析
(1)
∵关于x的一元二次方程kx²-(2k + 4)x + k - 6 = 0有两个不相等的实数根,
∴Δ = [-(2k + 4)]² - 4k(k - 6)＞0,且k≠0,
解得k＞$\frac{2}{5}$且k≠0.
(2)当k = 1时,
原方程为x²-(2×1 + 4)x + 1 - 6 = 0,
即x² - 6x - 5 = 0,
∴a = 1,b = - 6,c = - 5,
Δ = b² - 4ac = (- 6)² - 4×1×(- 5)=56＞0.
代入求根公式,得x = $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{6\pm2\sqrt{14}}{2\times1}$.
∴方程的解为x₁ = 3+$\sqrt{14}$,x₂ = 3-$\sqrt{14}$.