《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

17. 推理能力 一题多解 如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.(M8215003)
(1)求证:GF = GC.
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.

答案： 解析
(1)证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA = DC，∠A = ∠C = 90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA = DF = DC，∠DFE = ∠A = 90°，
∴∠DFG = 90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
$\begin{cases}DG = DG,\\DF = DC,\end{cases}$
∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL)，
∴GF = GC.
(2)BH = $\sqrt{2}$AE.
【证法一】如图，在线段AD上截取AM，使AM = AE，连接ME，DF，
∵AD = AB，
∴DM = BE，
由
(1)知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∵∠ADC = 90°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 90°，
∴2∠2 + 2∠3 = 90°，
∴∠2 + ∠3 = 45°，
即∠EDG = 45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH = 90°，
∴∠AED + ∠BEH = ∠AED + ∠1 = 90°，DE = EH，
∴∠1 = ∠BEH，在△DME和△EBH中，
$\begin{cases}DM = BE,\\∠1 = ∠BEH,\\DE = EH,\end{cases}$
∴△DME≌△EBH(SAS)，
∴EM = BH，
在Rt△AEM中，∠A = 90°，AM = AE，
∴EM = $\sqrt{2}$AE，
∴BH = $\sqrt{2}$AE.
【证法二】如图，过点H作HN⊥AB，交AB的延长线于N，
∴∠ENH = 90°，
由证法一可知，DE = EH，∠1 = ∠NEH，
在△DAE和△ENH中，
$\begin{cases}∠A = ∠ENH,\\∠1 = ∠NEH,\\DE = EH,\end{cases}$
∴△DAE≌△ENH(AAS)，
∴AE = HN，AD = EN，
∵AD = AB，
∴AB = EN = AE + BE = BE + BN，
∴AE = BN = HN，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴BH = $\sqrt{2}$HN = $\sqrt{2}$AE.

1. 两点之间线段最短 (2024北京十三中分校期中)如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为边作正方形DEFG.设DE = d₁,点F、G与点C的距离分别为d₂、d₃,则d₁ + d₂ + d₃的最小值为 ( )

A. $\sqrt{2}$
B. 2
C. 2$\sqrt{2}$
D. 4

答案： C 如图，连接AE，AC，CF，CG.
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG = 90°，EF = DE = DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = CD，∠ADC = 90°，
∵∠ADC - ∠EDC = ∠GDE - ∠EDC，
∴∠ADE = ∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE = CG，
∴d₁ + d₂ + d₃ = EF + CF + AE，
∴当点A，E，F，C在同一条直线上时，EF + CF + AE最小，即d₁ + d₂ + d₃最小，
∴d₁ + d₂ + d₃的最小值为AC的长，
在Rt△ABC中，AC = $\sqrt{2}$AB = 2$\sqrt{2}$，
∴d₁ + d₂ + d₃的最小值为2$\sqrt{2}$.

2. 垂线段最短 (2023北京四中期中)如图,线段AB的长为10,点D在线段AB上运动,以AD为边作等边三角形ACD,再以CD为边,在线段AB上方作正方形CDGH,记正方形CDGH的对角线交点为O,连接OB,则线段BO的最小值为_______.

答案： 答案 5
解析 连接CG、DH，则CG、DH交于点O，连接AO，过点B作BM⊥AO交AO的延长线于点M，如图，
∵△ACD为等边三角形，
∴AC = AD，∠CAD = 60°，
∵四边形CDGH为正方形，
∴CO = DO，
∵AO = AO，
∴△ACO≌△ADO(SSS)，
∴∠CAO = ∠DAO = $\frac{1}{2}$∠CAD = 30°，
易知当BO⊥AO，即点O在点M处时，线段BO的长度最小，
∵∠BMA = 90°，∠BAM = 30°，
∴BM = $\frac{1}{2}$AB = 5，
∴线段BO的最小值为5.

3. 利用三边关系求最值 如图,正方形ABCD的边长为4,点M和N分别从B,C同时出发,以相同的速度沿BC,CD向终点C,D运动,连接AM,BN,交于点P,连接PC,则PC长的最小值为_______.

答案： 答案 2$\sqrt{5}$ - 2
解析 由题意得BM = CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM = ∠BCN = 90°，AB = BC = 4，
∴△ABM≌△BCN(SAS)，
∴∠BAM = ∠CBN，
∵∠ABP + ∠CBN = 90°，
∴∠ABP + ∠BAM = 90°，
∴∠APB = 90°.
如图，取AB的中点O，连接OP，OC，
则OP = $\frac{1}{2}$AB = 2，OC = $\sqrt{OB^{2}+BC^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$，
∵PC≥OC - OP = 2$\sqrt{5}$ - 2，
∴PC长的最小值为2$\sqrt{5}$ - 2.