《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册北京课改版北京专版》

1. (2024 北京顺义牛栏山一中实验学校月考)下列一元二次方程没有实数根的是 ( )
A. $x^{2}-x - 1 = 0$
B. $x^{2}+x - 1 = 0$
C. $x^{2}+x + 3 = 0$
D. $-x^{2}-2x - 1 = 0$

答案： C A.$\Delta =(-1)^{2}-4\times1\times(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B.$\Delta =1^{2}-4\times1\times(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，不合题意；
C.$\Delta =1^{2}-4\times1\times3=-11＜0$，方程没有实数根，符合题意；
D.$\Delta =(-2)^{2}-4\times(-1)\times(-1)=0$，方程有两个相等的实数根，不合题意. 故选C.

2. (2024 北京海淀清华附中期中)关于 x 的一元二次方程$x^{2}-2x = 1$的根的情况是 ( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定

答案： A 整理为一般形式为$x^{2}-2x - 1 = 0$，
$\therefore a = 1,b = -2,c = -1$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times1\times(-1)=8＞0$，$\therefore$该方程有两个不相等的实数根. 故选A.

3. (2024 北京石景山期末)关于 x 的方程$2x^{2}-kx - 1 = 0$的根的情况为 ( )
A. 只有一个实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 没有实数根

答案： C $\because a = 2,b = -k,c = -1$，
$\therefore \Delta =(-k)^{2}-4\times2\times(-1)=k^{2}+8＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，
故选C.

4. (2024 北京二中教育集团模拟)关于 x 的一元二次方程$x^{2}+2mx + m^{2}-1 = 0$的根的情况是 ( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 实数根的个数由 m 的值确定

答案： A $\because \Delta =(2m)^{2}-4(m^{2}-1)=4m^{2}-4m^{2}+4=4＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根. 故选A.

5. (2024 北京交大附中期中)已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}+(m - 1)x - m = 0$。
(1)求证：方程总有两个实数根。
(2)若方程的一根为负数，求 m 的取值范围。

答案： 解析 （1）证明：$\because a = 1,b = m - 1,c = -m$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(m - 1)^{2}-4\times1\times(-m)=m^{2}+2m + 1=(m + 1)^{2}$.
$\because (m + 1)^{2}\geq0$，
$\therefore$方程总有两个实数根.
（2）$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1 - m\pm(m + 1)}{2\times1}$，
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=-m$.
$\because$方程的一根为负数，
$\therefore -m＜0$，$\therefore m＞0$.

6. 已知关于 x 的一元二次方程$ax^{2}+bx + 1 = 0$。
(1)当$b = a + 2$时，利用根的判别式判断方程根的情况。
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a，b 的值，并求此时方程的根。

答案： 解析 （1）根据题意得$a\neq0$，
$\because \Delta =b^{2}-4ac=(a + 2)^{2}-4ac=a^{2}+4a + 4 - 4a=a^{2}+4$，
且$a^{2}＞0$，$\therefore \Delta ＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
（2）$\because$方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac = 0$，$\therefore b^{2}=4a$，
当$b = 2,a = 1$时，方程变形为$x^{2}+2x + 1 = 0$，
解得$x_{1}=x_{2}=-1$.（答案不唯一）